Аркадий Борисович Скопенков
Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах
Мини-курс рассчитан на 4 занятия. Разбираемые задачи подобраны так, что в процессе их решения (и обсуждения) решатель увидит, как при решении интересных геометрических проблем, близких к приложениям, естественно возникают различные понятия кривизны, отличающей изучаемую геометрию от 'обычной'. (Например, кривизна Риччи, на изучении которой основано решение проблемы Пуанкаре, есть квадратичная форма, измеряющая искажение объемов при экспоненциальном отображении.)
Особенность мини-курса — возможность познакомиться с мотивировками и идеями дифференциальной геометрии при сведении к необходимому минимуму ее языка. Я постараюсь давать определения так, чтобы сразу было ясно, что определяемый объект интересен. А методы вычисления уже интересных объектов формулировать в виде теорем. Вместо абстрактных общих понятий буду рассматривать их конкретные используемые в курсе частные случаи, а обобщение оставлять в виде задач.
Для изучения большей части мини-курса не требуется специальных знаний (кое-где потребуется владение основами анализа функций нескольких переменных). Рассматриваемые понятия и факты интересны, полезны и нетривиальны даже для поверхностей вращения и графиков функций (в основном в трехмерном пространстве), а также для поверхностей многогранников. Например, инвариант Дена, с помощью которого была решена 3-я проблема Гильберта, тесно связан со средней кривизной поверхности многогранника.
Примерная программа:
- 1. Поверхности. Внутренняя изометрия. Скалярная кривизна.
- 2. Главные кривизны.
- 3. Средняя кривизна.
- 4. Гауссова кривизна.
- 5. Площадь поверхности. Кривизна Риччи.
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru