Андрей Михайлович Райгородский

Задачи о покрытии и размерность Вапника–Червоненкиса в комбинаторной геометрии и геометрии чисел

А.М.Райгородский планирует провести 4 занятия.

Занятие 1.

Вот пример типичной задачи о "покрытии".
В группе студентов и школьников, посещающих курс А.М. Райгородского в Дубне, 20 человек. Из них пять человек одинаково хорошо и лучше всех остальных решают задачи по комбинаторике, семь — по геометрии, шесть — по теории чисел и т.д. Нужно составить из этих молодых людей команду для участия в олимпиаде, чтобы в ней по каждому предмету нашелся специалист и чтобы ее размер был как можно меньше. На занятии проблема будет сформулирована в общем виде. Предполагается обсудить и доказать ряд красивых комбинаторных утверждений, позволяющих оценивать мощность так называемой системы общих представителей для совокупности подмножеств конечного множества или, как еще говорят, для гиперграфа.

 

Занятие 2.

На этом занятии будет рассказано об одном очень важном понятии, которое лежит на стыке комбинаторики, геометрии и теории вероятностей. Это понятие размерности Вапника–Червоненкиса. Окажется, что с его помощью удается решать многие комбинаторно-геометрические задачи о покрытии. В частности, речь пойдет о так называемых ε-сетях, являющихся своего рода геометрическими аналогами комбинаторных систем общих представителей.

 

Занятие 3.

На третьем занятии будет продолжено обсуждение многочисленных приложений комбинаторных задач о покрытии в геометрии. Здесь особое внимание будет уделено задаче о хроматическом числе пространства (т.е. о минимальном количестве цветов, в которые можно так покрасить все точки пространства, чтобы между одноцветными точками не было расстояния 1), проблеме Борсука о разбиении ограниченных множеств на части меньшего диаметра и проблеме Грюнбаума о покрытии ограниченных множеств шарами.

 

Занятие 4.

На этом занятии мы поговорим о некоторых задачах геометрии чисел, которая является важным разделом современной теории чисел. Основным ее объектом служит так называемая решетка на плоскости или в пространстве произвольной размерности. Одно из классических утверждений геометрии чисел принадлежит Минковскому: если выпуклая фигура на плоскости симметрична относительно начала координат и ее площадь больше четырех, то фигура содержит нетривиальную точку с целыми координатами. Здесь в роли решетки выступает множество целых точек на плоскости. На занятии мы увидим, что многие глубокие задачи геометрии чисел также могут быть решены с помощью теорем о покрытии.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru