Юрий Львович Притыкин и Михаил Александрович Раскин

Последовательности, близкие к периодическим.

Ю.Л.Притыкин, М.А.Раскин планируют провести 4 занятия.

Наш предмет — комбинаторика слов (наука о конечных и бесконечных последовательностях букв конечного алфавита), но мы затронем и динамические системы (точнее, символическую динамику), логику, алгоритмы... Непонятные слова (например, конечный автомат или логическая теория) будут объясняться наглядно на примерах, то есть никаких особых предварительных знаний не предполагается — курс для всех желающих. Будет подготовлен список задач для решения.

Простейшими (с разных точек зрения) бесконечными последовательностями над конечным алфавитом являются периодические. Мы рассмотрим несколько вариантов обобщения — вот (пока формальный) объединяющий мотив сюжетов, планируемых для рассказа.

Начнем мы с примеров.

Последовательность почти периодична, если каждое входящее в неё подслово входит бесконечно много раз с ограниченными расстояниями между соседними вхождениями. Почти периодические последовательности (называемые также равномерно рекуррентными) изначально возникли как "дискретизация" динамических систем. Простейший пример — последовательность "a, если дробная часть n√2 больше 1/2, и b иначе" из букв a и b почти периодична.

Другой пример: естественной комбинаторной характеристикой последовательности является подсловная сложность — количество входящих в неё слов длины n как функция от n. Эта функция ограничена тогда и только тогда, когда последовательность периодична с некоторого места. Минимальная возможная подсловная сложность непериодической последовательности есть f(n) = n+1 — такие последовательности называются последовательностями Штурма, все они почти периодичны. Пример — известная последовательность Фибоначчи 010010100100101001010...

Еще пример: последовательность Туэ-Морса 0110100110010110... (кстати, не являющаяся последовательностью Штурма) также почти периодична.

Для введённых классов последовательностей интересно проследить за свойствами замкнутости относительно различных преобразований. Наиболее широкий класс из тех, что мы рассмотрим — конечные преобразователи (конечный автомат, читающий символы последовательности по одному и иногда пишущий что-то на выход). Интересная параллель здесь с логическими теориями на множестве натуральных чисел — параллель примерно такая же, как в случае конечных автоматов, распознающих конечные слова, и эквивалентного описания через регулярные выражения.

Затем мы рассмотрим другие свойства последовательностей, похожие на периодичность.

Периодическую последовательность можно описать как последовательность, порождаемую машиной с конечной памятью. Если немного обобщить класс рассматриваемых машин и разрешить им читать ранее написанные символы снова, получим класс так называемых автоматных последовательностей. Другое эквивалентное определение — конечный автомат читает число n, записанное в некоторой фиксированной системе счисления, и выдаёт n-й символ последовательности. Для таких последовательностей мы также рассмотрим их любопытные свойства, в том числе свойства замкнутости, связи с теорией чисел.

Периодическая последовательность получается покрытием натурального ряда копией одного конечного слова без перекрытий. Если перекрытия в таких покрытиях разрешить, получается интересный комбинаторный объект — квазипериодические последовательности.

Слова Тёплица (изначально возникшие для описания топологических пространств) получаются, если заполнять натуральный ряд символами, позиции которых образуют арифметические прогрессии.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru