Юрий Михайлович Бурман

Критические значения многочленов

Ю.М.Бурман предполагает провести 4 занятия.

Критическими значениями многочлена P называются его значения в корнях его собственной производной.

Многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет n–1 критических значений, считая с кратностями. Мы рассмотрим вопрос, сколько существует различных многочленов с заданным набором критических значений.

На первый взгляд, задача кажется весьма искусственной и «школьной». Тем удивительнее, что

• она имеет красивый ответ, который мы получим на первом занятии.
• к этому ответу можно придти разными путями, один из которых — алгебраический, другой — тополого-аналитико-комбинаторный.
• полное обоснование ответа опирается на сложные фундаментальные результаты, такие как теорема Безу о числе решений системы однородных уравнений (для алгебраического подхода) и теорема о единственности комплексной структуры на двумерной сфере (для топологического).
• задача допускает далеко идущие обобщения.

Курс рассчитан на слушателей, знакомых с основами анализа (непрерывность, формула Тейлора, касательные) и с комплексными числами (нужно представлять себе, как действует на C преобразование z → az, где a — фиксированное комплексное число, и знать, или верить, что многочлен степени n имеет n корней). Знакомство со словами «гомеоморфизм» и «сфера Римана» облегчит понимание, но не обязательно. Доказательство теоремы Безу и теоремы о единственности комплексной структуры в курс не входит.