Владимир Андреевич Успенский

Нестандартные модели: хорошо это или плохо?

В.А.Успенский планирует провести одну лекцию.

Моделью какой-либо системы аксиом называется математическая структура (т. е. совокупность элементов, операций и отношений), удовлетворяющая этим аксиомам. Система аксиом, в свою очередь, нередко создаётся в целях описания с её помощью какой-либо конкретной математической структуры, представляющей специальный интерес — например, евклидовой геометрии, или натурального ряда, или структуры математического анализа, то есть множества действительных чисел с определёнными на этом множестве операциями (функциями действительной переменной). Однако иногда оказывается, что у созданной в указанных целях системы аксиом неустранимым образом возникают и другие модели, помимо той структуры, для описания коей и создавалась данная система. Эти другие модели (желательные или нежелательные — это как посмотреть) и называются нестандартными. Именно такие модели возникают при любой попытке написать на элементарном языке (то есть на таком языке, в котором все переменные пробегают лишь по элементам исследуемой математической структуры) систему аксиом для натурального ряда или математического анализа. В этих нестандартных моделях понятия бесконечно большой величины и бесконечно малой величины приобретают новый смысл. Некоторые считают, что этот "нестандартный" смысл более пригоден для описания физической реальности, чем смысл "стандартный". Для лучшего понимания лекции желательно знакомство с простейшими символами математической логики, а именно знаками ¬, &, ∧, ∨, ⇒, ∀, ∃.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru