Сергей Васильевич Дужин

Комбинаторика хордовых диаграмм

С.В.Дужин планирует провести 2 занятия.

Пару хорд в окружности можно провести двумя принципиально различными способами: они могут пересекаться или не пересекаться. Для трех хорд различных конфигураций существует 5, для четырех — 18 и т.д. Хордовая диаграмма порядка n — это набор из n хорд, который рассматривается с комбинаторной точки зрения, т.е. длины хорд и конкретное положение концов не имеют значения, учитывается лишь взаимное расположение хорд. Оказывается, что при n≤4 все хордовые диаграммы имеют осевую симметрию, а начиная с n=5 появляются диаграммы, которые меняются при отражении.

Рассматривая хордовые диаграммы как переменные ("иероглифы"), на них можно составить замечательную систему уравнений Васильева, возникшую в теории инваринтов узлов. Как показывают компьютерные вычисления, для n≤12 из системы Васильева вытекает равенство всякой диаграммы своему зеркальному образу. Верно ли это для произвольного значения n, науке неизвестно. Это знаменитая проблема различения ориентации узлов посредством инвариантов конечного типа, поставленная в 1990 году. Ученые профессора бросили на решение этой проблемы всю мощь современной математики: алгебры и супералгебры Ли, квантовые группы, моноидальные категории, исписали тысячи страниц, но решения не нашли. Требуется способный школьник.

Конечная цель данного курса — дать формулировку описанной проблемы в терминах, понятных старшеклассникам.

Литература: С.В.Дужин, С.В.Чмутов. Узлы и их инварианты. "Математическое просвещение", вып. 3 (1999), стр. 59--93. (Интернет: http://www.pdmi.ras.ru/~duzhin/papers/onknots.ps.gz.)

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru