Гаянэ Юрьевна Панина
Алгебра многогранников
Г.Ю.Панина планирует провести 4 занятия.
Выпуклые многогранники можно складывать по Минковскому. А если научиться интегрировать по эйлеровой характеристике, то станет можно их вычитать по Минковскому. При этом многогранники выворачиваются наизнанку, становятся отрицательными, принимают причудливые формы, и появляются красивые картинки. Кроме того, мы организуем многогранники в градуированную алгебру (это и есть алгебра многогранников) — замечательный объект, придуманный недавно и проясняющий многое в геометрии многогранников (и не только). От слушателей не требуется предварительных знаний, однако неплохо иметь представление о том, что такое коммутативная группа и эйлерова характеристика.
Программа курса
- Выпуклые многогранники (мы ограничимся двух- и трехмерными): грани, опорная функция, веер, сумма Минковского. Что происходит с опорными функциями и веерами при сложении по Минковскому.
- Эйлерова характеристика (напомним вкратце, что это такое и простые примеры, когда она бывает нужна: классификация двумерных поверхностей, причесывание ежиков,...), интегрирование по эйлеровой характеристике (интеграл по эйлеровой характеристике проще, чем интеграл Лебега), свертка по эйлеровой характеристике.
- Вычитание по Минковскому. Много примеров. Группа виртуальных многогранников. Красивые веера виртуальных многогранников. Рисунки на резиновых мячах. Сферический "Инь и Янь".
- Алгебры и градуированные алгебры: определение и простые примеры. Многогранные функции (= выпуклые цепи в терминологии А. Хованского). Алгебра многогранников.
- Логарифм и экспонента от многогранников (это совсем не те логарифмы, которыми мучают абитуриентов. Это общий алгебраический прием.) Градуированные компоненты алгебры многогранников: препарируем многогранники — отдельно ребра, отдельно грани...
- Зачем все это было нужно? Задача равносоставленности для группы параллельных переносов (классическая вариация на тему третьей проблемы Гильберта). Инварианты Хадвигера.
- К чему это привело? Задача об f-векторе.
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru