Дмитрий Борисович Каледин

Кватернионные алгебры, и зачем они нужны

Д.Б.Каледин планирует провести 2-3 занятия.

Аннотация:

Как известно, в определении поля предполагается, что умножение коммутативно. Если отбросить это требование, получается понятие "тела", или "алгебры с делением". Понятие это не чистая казуистика, потому что есть один конкретный пример: тело кватернионов — алгебра, получаемая добавлением к вещественным числам переменных I, J с соотношениями I²=J²=-1 и IJ=-JI. Оказывается, что над вещественным полем других некоммутативных алгебр с делением нет; зато над полем p-адических чисел их много — они естественно нумеруются рациональными числами в интервале от 0 до 1. Будет рассказано, как построить эти алгебры и как их классифицировать. Если останется время, мы также расскажем, без доказательства, как эти алгебры появляются в современной теории чисел (а именно, в так называемой "локальной теории полей классов").

Пререквизиты:

нужно знакомство с базовыми алгебраическими понятиями — группа, кольцо, поле — и некоторый навык работы с ними; в частности, вас не должно пугать тензорное произведение двух алгебр над данным полем. Также пригодится знакомство, на уровне основных утверждений, с теорией Галуа (впрочем, все расширения Галуа у нас будут очень простыми, циклическими, и более чем достаточно, например, послушать курс В. Кириченко на этой школе). По ходу дела появятся в некоторых количествах когомологии групп, но знакомство с ними ни в коем случае не предполагается — наоборот, наш сюжет может служить введением в общую теорию на очень простых, явно вычислимых примерах.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru