Александр Игоревич Буфетов

Случайные блуждания

А.И.Буфетов планирует провести четыре занятия.

Пусть частица на прямой передвигается за одну секунду с вероятностью половина на один шаг вправо, с вероятностью половина на один шаг влево. При таком блуждании частица с вероятностью единица рано или поздно попадет во все точки прямой и, в частности, вернется в исходную точку бесконечно много раз. Последнее свойство называется возвратностью случайного блуждания. Рассмотрим теперь случайное блуждание на плоскости (здесь точка переходит с равной вероятностью в один из четырех соседних узлов решетки). Оно также возвратно. А блуждание в трехмерном пространстве --- уже нет: с вероятностью единица точка вернется в начальное положение лишь конечное число раз, а потом покинет его навсегда. Мы начнем с доказательства этих фактов.

Пусть задано случайное блуждание (например, в пространстве произвольной размерности). Функция, определенная на узлах решетки, называется супергармонической, если ее значение в любом узле не меньше среднего арифметического ее значений в соседних узлах (и гармонической, если значение в точности равно среднему соседей). Мы увидим, что существование положительных супергармонических функций, отличных от константы, равносильно невозвратности.

Наконец, мы рассмотрим случайное блуждание на бесконечном дереве. Это блуждание, разумеется, невозвратно. Мы явно опишем все его положительные гармонические функции (иными словами, построим границу Martin'а блуждания).

Никаких предварительных знаний не требуется.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru