Ольга Дмитриевна Аносова,
Виталий Александрович Курлин
Парадоксы теории вероятностей
Материалы по курсу можно взять здесь.
Курс рассчитан на 4 занятия. При таком ограниченном времени авторы ставят перед собой две цели: пробудить у участников интерес к теории вероятностей и дать базовые понятия, необходимые для дальнейшего более глубокого изучения этой теории. Наилучшим средством достижения этих целей представляются вероятностные парадоксы, исторически возникавшие в процессе эволюции от азартных игр к науке: при формулировках, доступных школьникам, парадоксы для полного разрешения требуют глубокого понимания. Курс делится на следующие темы.
1. Какие бывают случайности?
- а) Интуитивное понимание случайности часто не совпадает со строгим математическим: парадокс де Мере об игре в кости, обмен подарками, совпадение дней рождений, раздел шкуры неубитого медведя.
- б) В одной задаче возможно несколько моделей случайного эксперимента, приводящие к разным ответам: парадокс Бертрана о длине случайной хорды, задача о толстой монетке/
- в)Аксиоматика Колмогорова в дискретном случае: элементарные события, вероятностное пространство и ряд распределения.
2. Как распознать зависимые события?
Понятие независимости событий. Схема Бернулли.
- а) Парадоксы престолонаследования: какова вероятность появления наследника после рождения четырех девочек?
- б) Влияние джокера на карточную игру.
- в) Попарная независимость и независимость в совокупности.
Условная вероятность, полная вероятность, формула Байеса.
- а) Особенности национальной рыбалки: распознавание сапог в темноте.
- б) Бесконечная орлянка с передачей хода.
- в) Дилемма игрока в "Поле чудес" и дилемма заключенного.
3. Насколько хорош прогноз, основанный на среднем числе успехов?
Случайная величина, математическое ожидание.
- а) Таблица Галлея: по статистике половина населения не доживает до трети от средней продолжительности жизни.
- б) Сколько надо сделать попыток до первого успеха?
- в) Бесконечное математическое ожидание: можно ли обыграть банк?
- г) Как отличить экспериментальную серию выпадений монетки от выдуманной?
4. Как играть, чтобы выиграть с большей вероятностью?
Применение теории вероятностей к игровым задачам.
- а) "Беспроигрышная лотерея".
- б) Игра с неравносильными противниками.
- в) Игра с нетранзитивными стратегиями.
- г) Как играть в проигрышную игру и даже превратить ее в выигрышную?
- д) Когда страхование выгодно и клиенту тоже?
- е) Оптимальный выбор невесты.
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru