Общие лекции
1.	Д.В.Аносов	Три взгляда на векторные поля (2 лекции)
2.	В.И.Арнольд	Астроидальная геометрия и топология
		Брошюра по материалам лекции (23.04.2002) в формате PostScript (867K) (zip-архив) PDF (1.2M)
3.	В.И.Арнольд	Гиперболические кривые
4.	А.А.Болибрух	Уравнения Максвелла, внешние дифференциальные формы и расслоения (2 лекции)
		Брошюра по материалам лекции (23.04.2002) в формате PostScript (149K) (zip-архив) PDF (274K)
5.	В.А.Васильев	Элементарные топологические задачи
6.	А.Б.Сосинский	Теорема Гёделя
7.	В.М.Тихомиров	Выпуклый анализ
		Брошюра по материалам лекции (23.04.2002) в формате PostScript (178K) (zip-архив) PDF (325K)
8.	М.А.Цфасман	Эллиптические кривые
9.	М.А.Цфасман	Диофантова геометрия
		Брошюра из серии "Библиотека "Математическое просвещение" PDF (3.75М)
10.	А.Г.Хованский	О числе нулей решений дифференциальных уравнений

Спецкурсы

1. В.И.Арнольд. Астроидальная геометрия и топология

См. материалы к лекции

2. В.О.Бугаенко. Многогранники Кокстера

Многогранниками Кокстера называются многогранники, отражения которых в своих гранях заполняют всё пространство без наложений. Можно сказать, что всевозможные многогранники Кокстера задают всевозможные виды калейдоскопов в пространстве. Как можно задавать многогранники Кокстера, можно ли получить их классификацию? Речь может идти о многогранниках, как в Евклидовом пространстве, так и о пространстве Лобачевского. Курс будет состоять из трёх или четырёх лекций. Уровень необходимых предварительных знаний будет для этих лекций различен. Допускается, что слушатели могут ограничится одной или двумя первыми лекциями.

3. Ю.М.Бурман. О проективных пространствах, или геометрия без рисунков.

Брошюра по материалам лекции (23.04.2002) в формате
PostScript (129K) (zip-архив)
PDF (204K)

Идея курса состоит в том, чтобы показать слушателям, как в геометрии и топологии работать с объектами, размерность которых мала, но все же больше двух — так что их нельзя непоследственно нарисовать.

Цель курса — познакомить слушателей на конкретных примерах с некоторыми важными геометрическими объектами — проективными пространствами, ортогональными группами, касательным расслоением, использованием комплексных чисел и кватернионов.

Основной материал курса — многочисленные доказательства гомеоморфизма SO(3)=RP³.

Предполагаемая аудитория — студенты, выпускники и самые "продвинутые" школьники. Не предполагается знакомства с линейной алгеброй.

4. М.Н.Вялый. Линейные неравенства и комбинаторика

Конспект занятий (рабочая версия, 23.04.2002) в формате
PostScript (108K) (zip-архив)
PDF (224K)

Решение линейных неравенств по научному называется линейным программированием. В курсе будут обсуждаться приложения линейного программирования к теории графов. Основным примером будет так называемая слабая гипотеза Бержа о совершенных графах.

Значительную часть материала доступна старшим школьникам. Знание линейной алгебры не обязательно, но значительно упростит понимание.

5. С.А.Дориченко. Плоские алгебраические кривые и проективная геометрия

Знаменитая теорема Паскаля гласит: если шестиугольник ABCDEF вписан в окружность, то точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Эта удивительная теорема остается верной, если в ее формулировке заменить окружность на любую плоскую алгебраическую кривую степени 2: эллипс, параболу, гиперболу, пару прямых.

Теорема Паскаля коротко и изящно выводится из теоремы Безу, которая утверждает, что две плоские алгебраические кривые, одна — степени n, а другая — степени m, пересекаются либо по кривой, либо по конечному множеству точек, причем в последнем случае этих точек не более mn.

Метод доказательства поможет нам решить и некоторые другие классические задачи планиметрии и проективной геометрии.

Приглашаются школьники.

6. М.Э.Казарян (продолжение лекций А.А.Болибруха)

Брошюра по материалам лекции (23.04.2002) в формате
PostScript (121K) (zip-архив)
PDF (234K)


Тема курса — введение в современный математический язык дифференциальной геометрии многообразий (дифференциальные формы, главные и векторные расслоения, связности, кривизны и т.п.) для описания физических полевых теорий.

Цель курса — дать краткое представление о том, какие математические структуры использует современная теоретическя физика и научить распознавать эти структуры в дебрях физических рассуждений и терминологии.

Курс рассчитан, по-видимому, на студентов, и первокурсники не должны опасаться, что им будет тяжело. Основные геометрические идеи будут понятны также и школьникам (интересующимся наукой). Им этот курс также будет полезен тем, что у них появится представление о том, какими терминами владеет современная наука, а наполнять эти термины смыслом им, возможно, придется позже.

7. В.А.Клепцын. Простейшие понятия теории вероятностей

- понятие вероятности: повторяющиеся опыты
- конечная схема
- общее определение вероятностного пространства
- эквивалентность этих определений для конечной схемы
- условная вероятность, формулы полной вероятности и Байеса

- зависимость и независимость событий
- случайные величины
- зависимость и независимость случайных величин
- функция распределения случайной величины
- теорема Каратеодори и реализация случайной величины с данным распределением.

- математическое ожидание случайных величин, конечная схема: два определения— "по Риману" и "по Лебегу"
- общее понятие математического ожидания
- его простейшие свойства
- неравенство Чебышева
- дисперсия: способ измерять разброс случайной величины
- еще немного свойств математического ожидания и дисперсии
- схема Бернулли и закон больших чисел (ЗБЧ)
- "разумность" нашей модели

8. А.В.Кочергин (продолжение лекций Д.В.Аносова)

9. А.Б.Скопенков. Характеристические классы для начинающих

Конспект занятий (рабочая версия, zip-архив, 1.08.2001) в формате
AMSTEX (18K) (zip-архив)
PostScript (62K) (zip-архив)

На спецкурсе будет рассказано, как можно решать красивые и сложные топологические проблемы при помощи алгебраической топологии. При этом основные понятия алгебраической топологии (более конкретно, теории препятствий и характеристических классов) будут естественно возникать в процессе решения указанных проблем. Материал будет преподноситься в основном на примерах размерностей 2 и 3 (ну максимум 4), хотя соответствующие методы работают и в многомерном случае.

Для интуитивного понимания спецкурса достаточно начальных знаний по топологии и алгебре (например, в пределах вводного курса настоящей Летней Школы); для более глубокого нужно также владеть основами топологии многообразий (все остальные понятия, используемые в нижеследующей программе, будут объяснены). Часть материала будет преподноситься в виде задач. Будут предложены также задачи для исследования.

10. А.Б.Скопенков. Классические и современные проблемы топологической теории графов

Топологическая теория графов — раздел математики, возникший на стыке комбинаторики, топологии и программирования, бурно развивающийся в последнее время. Он относительно доступен для начинающих, но в то же время содержит красивые сложные результаты и нерешенные проблемы. На спецкурсе будут разбираться и теоремы и задачи о существовании и классификации вложений графов (и более сложных объектов) в плоскость (и в поверхности). При наличии времени будут также рассмотрены алгоритмы нахождения вложений, в том числе вложений с некоторыми специальными свойствами (интересными с точки зрения теорий динамических систем и суперпозиций).

Предполагается, что участники либо имеют опыт работы с графами, либо готовы потратить много времени на приобретение такого опыта в Летней Школе. Для интуитивного понимания спецкурса достаточно знать школьную программу; для более глубокого нужно понимать, что такое непрерывное отображение подмножества трехмерного пространства в плоскость (все остальные понятия, используемые в нижеследующей программе, будут объяснены). Большая часть материала будет преподноситься в виде задач. Будет предложено также много задач для исследования.

11. А.Б.Сосинский. Невычислимость, неразрешимость, недоказуемость

Конспект занятий (рабочая версия, 23.04.2002) в формате
LATEX (17K) (zip-архив)
PostScript (55K) (zip-архив)
PDF (156K)

Занятия (на которых будут в основном решаться задачи) посвящены результатам, показывающим принципиальные дефекты формализации математики: существование
(1) (очень простых!) функций из N в N, которые ни один компьютер не может сосчитать (невычислимость);
(2) подмножеств натуральных чисел, принадлежность к которым не может определить ни одна машина (неразрешимость);
(3) математических утверждений о натуральных числах, которые нельзя вывести из аксиом в данной формальной системе, хотя они заведомо верны (недоказуемость, или замечательная теорема Гёделя о неполноте).

12. А.В.Стояновский. Классические и новые вопросы теории определителей

Цель курса -- сформулировать ряд открытых вопросов из теории определителей, относящихся к тождествам с минорами данной матрицы, а также к многомерным определителям и связанным с ними понятиям (результанты, дискриминанты).

Предполагаемая аудитория: все желающие.

Необходимые предварительные знания: чем меньше знают, тем лучше.

13. В.А.Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников

Брошюра по материалам лекции (23.04.2002) в формате
PostScript (110K) (zip-архив)
PDF (207K)

Обозначим через f₀ число вершин выпуклого многогранника, через f₁ — число ребер, через f₂ — число двумерных граней и т.д. Каким соотношениям удовлетворяют числа f_i? Это один из основных вопросов комбинаторики выпуклых многогранников. Мы разберем два классических результата, связанных с этим вопросом.

Требования к подготовке слушателей: основы линейной алгебры, определение выпуклого многогранника в многомерном пространстве.

14. Р.М.Фёдоров. Основы теории Галуа

Знаменитая теорема, к которой нас приведет изучение групп Галуа, гласит, что существует уравнение пятой степени с целыми коэффициентами (например, уравнение x⁵-x-1=0), корни которого не могут быть получены из рациональных чисел при помощи арифметических операций и извлечения корней.

Оказывается, что теория конечных расширений поля Q связана с построениями циркулем и линейкой. Оставаясь в рамках предыдущих определений, мы докажем неразрешимость "задачи об удвоении куба". Мы также выясним при каких n правильный n-угольник может быть построен циркулем и линейкой.

Требования к слушателям: знакомство с понятиями векторного (линейного) пространства, многочлена, комплексного числа, поля, группы; незнакомство с теорией Галуа.

15. И.В.Ященко. Теория множеств

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru