на главную страницу ЛШСМ-2022 к списку курсов ЛШСМ-2022

Андрей Дмитриевич Рябичев

Феномен мягкости в дифференциальной топологии

А. Д. Рябичев планирует провести 3 занятия.

Доступны список литературы и задачи к курсу: листок 1, листок 2, листок 3.

В середине прошлого века С. Смейл обнаружил, что сферу в трёхмерном пространстве можно непрерывно вывернуть наизнанку. В процессе выворачивания могут появляться самопересечения, но запрещены изломы (т.е. каждый достаточно маленький кусочек сферы должен быть гладким в любой момент времени).

Примерно в то же время Дж. Нэш доказал теорему об изометрическом вложении. Она позволяет, например, вложить в трёхмерное пространство тор, склеенный из прямоугольника, так что в итоге поверхность прямоугольника не будет растянута или сжата, а лишь гладко изогнута.

В дальнейшем М. Громов заметил, что оба применённых здесь метода обобщаются на довольно широкий класс геометрических задач, которым присуща некая «гибкость». Разработанная Громовым техника получила название h-принцип и была впоследствии широко популяризирована.

В этом курсе мы попробуем увидеть и почувствовать, как работает h-принцип, на нескольких простых примерах. В процессе мы также освоим ряд концептуальных приёмов и инструментов, часто применяющихся во многих других топологических задачах.

Примерный план:

Пререквизиты. Для комфортного понимания курса от слушателей потребуется владение азами теории множеств (отображения, декартово произведение) и анализа (эпсилон-дельта формализм, интуитивное понимание непрерывности и геометрического смысла производной), а также хорошее пространственное воображение.