М. А. Берштейн планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Доступны задачи к курсу: листок 1, листок 2.
Клаcтерные алгебры были введены 20 лет назад в работах Фомина и Зелевинского. Они сразу же стали популярны, в частности, благодаря связям с разными разделами математики, такими как квантовые группы, теория категорий, пространства модулей, интегрируемые системы и прочее. Однако, с другой стороны, определение кластерных алгебр относительно элементарно и связано с двумя легко формулируемыми замечательными свойствами: лорановости и положительности. На них мы и будем концентрироваться в этом курсе.
Приведем два конкретных вопроса, которые мы будем обсуждать по ходу занятий.
1. Последовательностью Сомоса называется последовательность, заданая рекуррентным соотношением $z_{m+2}z_{m-2}=z_{m+1}z_{m-1}+z_m^2$ и начальными членами $z_0=z_1=z_2=z_3=1$. Хотя на первый взгляд определение следующих членов последовательности требует деления, оказывается, что все члены этой последовательности — целые числа. Доказательство, которые мы будем обсуждать, основано на том, что все члены этой последовательности являются полиномами Лорана от первых четырех членов.
2. Квадратная матрица с вещественными элементами называется вполне положительной, если любой ее минор является положительным. Даже существование таких матриц не является очевидным. Кроме того, проверка того, что матрица является полностью положительной по определению подразумевает вычисление $\binom{2n}{n}-1$ определителей, что быстро становится сложным. Оказывается, что такие матрицы можно явно запараметризовать, и достаточно проверить всего $n^2$ миноров.
Пререквизиты. Для понимания начала курса достаточно небольшого комбинаторного опыта (комбинаторная интерпретация чисел Фибоначчи, числа сочетаний как число путей на решетке). Во второй половине потребуется некоторый опыт работы с матрицами (умножение матриц, определители).
Литература к курсу: