Илья Сергеевич Алексеев

Теория кос является одним из интереснейших разделов топологии малых размерностей — наиболее естественной, наглядной и интуитивной части топологии. Так, современные исследования кос затрагивают различные аспекты комбинаторики, теории групп, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую геометрию, теорию узлов, комбинаторику многогранников, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, описать произвольный узел, симметрию платонова тела или отображение между многомерными сферами. В настоящем курсе мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.

План.

1. Структуры на косах и нормальные формы. Мы обсудим алгебраические свойства кос и докажем существование уникальных геометрических представлений: причесанной и жадной формы кос.
2. Действия групп кос и инварианты. Мы посмотрим на косы с точки зрения преобразований объектов самой разной природы.
3. Трихотомия Нильсена–Тёрстона. Мы попробуем выяснить, какие косы задают наиболее эффективные способы перемешивания растворов, проложим мостик к теории узлов и выясним, при чем здесь геометризационная теорема Тёрстона.
4. Косы на поверхностях и комплекс Мура брунновых кос. Мы узнаем, как связаны косы и гомотопические группы сфер.

Пререквизиты. Для понимания первых трёх тем не предполагается знаний сверх школьной программы, представления о непрерывности и пространственного мышления. Возможно, в конце для полного понимания потребуются более продвинутые знания.