Евгений Юрьевич Смирнов

Диаграмма Юнга — это классический комбинаторный объект, описывающий разбиение натурального числа в сумму неупорядоченных слагаемых. Его удобно изображать в виде фигуры из клеточек, наподобие изображенной на рисунке.

У диаграмм Юнга есть естественное трехмерное обобщение — пирамида из кубиков, которая называется плоским разбиением. Основная задача, которой мы будем заниматься в этом курсе — это подсчет количества таких пирамид, размеры которых не превышают заданных параметров, и нахождение для него производящей функции. Эту задачу (ответ в ней называется формулой Макмагона) мы решим несколькими способами и попутно изучим различные связанные с ней понятия из комбинаторики и теории симметрических функций.

Программа курса

1. Диаграммы и таблицы Юнга. Плоские разбиения. Подсчет числа плоских разбиений при помощи непересекающихся путей. Трюк Линдстрема — Гесселя — Вьенно, первое доказательство формулы Макмагона.
2. Симметрические функции. Многочлены Шура. Подсчет числа плоских разбиений с помощью специализаций многочленов Шура. Второе доказательство формулы Макмагона.
3. Тождество Коши для многочленов Шура. Третье доказательство формулы Макмагона.
4. Симметрические плоские разбиения. Тождество Шура, теорема Макдональда о производящей функции для симметрических плоских разбиений.

Пререквизиты: слушателям хорошо бы знать, что такое многочлен и что такое определитель.