Георгий Борисович Шабат

С многомерными компактными многообразиями связано много известных результатов и открытых проблем. Простейшие компактные многообразия — эти сферы, и с них можно начать путешествие по многомерным мирам.

В курсе будет рассказано (в основном на уровне формулировок со ссылками) о сферах разных размерностей.

Программа курса

1. Окружность $\mathbf{S}^1$ как группа; теорема Жордана — Шёнфлиса.
   Сфера $\mathbf{S}^2$ как риманово многообразие постоянной положительной кривизны и как проективная прямая $\mathbf{P}_1(\mathbb{C})$; рогатая сфера Александера.
   Сфера $\mathbf{S}^3$ как группа; линзовые пространства; изначальная формулировка гипотезы Пуанкаре и его трёхмерная гомологическая сфера.
   Сфера $\mathbf{S}^4$ как проективная «прямая» $\mathbf{P}_1(\mathbb{H})$; немного о твисторах.
2. Сфера $\mathbf{S}^5$ и суперсимметричный Янг — Миллс.
   Сфера $\mathbf{S}^6$ и почти комплексная структура на ней. Вопрос о существовании комплексной структуры.
   Сфера $\mathbf{S}^7$ и экзотические гладкие структуры на ней (Милнор).

Задач, увы, не будет.

Пререквизиты: для понимания основной части лекций достаточно хорошей топологический интуиции; для некоторых частей потребуется владение определениями из «взрослой» математики, которые по возможности будут объяснены.