на главную страницу ЛШСМ-2021 к списку курсов ЛШСМ-2021

Александр Геннадьевич Кузнецов

Системы корней и диаграммы Дынкина

А. Г. Кузнецов планирует провести 3-4 занятия.

Система корней — это конечный набор векторов в евклидовом пространстве, такой что для любого из этих векторов $v$ зеркальная симметрия $s_v$ относительно гиперплоскости $H_v$, перпендикулярной к $v$, сохраняет систему, причём для всякого вектора $v'$ из системы $s_v(v')- v'$ является целым кратным вектора $v$.

В двумерном пространстве единственнными (приведенными и неприводимыми) системами корней являются нарисованные на картинке системы.

система корней $A_2$ система корней $B_2$ система корней $G_2$

Оказывается, системы корней можно полностью классифицировать. Возникает несколько «серий» (бесконечных последовательностей) и несколько «исключительных» систем. Самая сложная исключительная система $E_8$ играет важнейшую роль в Стандартной Модели, на которой основана современная физика элементарных частиц. система корней $E_8$

Мы поговорим о системах корней в пространствах произвольной размерности, их классификации, и возникающих в связи с этим диаграммах Дынкина. Кроме того, мы обсудим важное обобщение систем корней — аффинные системы и поговорим о том, в каких областях математики все это встречается.

Пререквизиты: знания алгебры в пределах первого курса заведомо достаточно.