на главную страницу ЛШСМ-2021 к списку курсов ЛШСМ-2021

Валентина Алексеевна Кириченко

Танглы Конвея и модулярная группа

В. А. Кириченко планирует провести 4 занятия.

Рациональные танглы Конвея — это переплетения двух канатов, которые 4 человека с двумя канатами могут станцевать из «начальной позиции» с помощью движений «твист» и «поворот»:

По каждому танглу можно определить рациональное число — инвариант тангла относительно естественного отношения эквивалентности (два тангла эквивалентны, если один можно получить из другого, двигая канаты, но не меняя положения их концов). У твистов и поворотов есть и другие инкарнации — можно определить их действие на полуокружностях диаграммы Фарея и на параллелограммах с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Всё это примеры действия модулярной группы. В курсе планируется подробно разобрать все приведённые выше примеры, изучить их взаимосвязи и попутно познакомиться с важными математическими объектами, такими как модулярная группа.

Программа курса

  1. Как станцевать тангл Конвея и построить его полный инвариант. Узлы, танглы и зацепления: зачем Конвей придумал танглы.
  2. Диаграмма и дроби Фарея. Комплексная плоскость и её дробно-линейные преобразования. Связь диаграммы Фарея с разложением рационального числа в цепную дробь.
  3. Параллелограммы на клетчатой бумаге. Линейные отображения плоскости и преобразования решётки. Модулярная группа.
  4. Как склеить тор из плоскости с решёткой. Связь между параллелограммами и танглами: естественная конструкция инвариантов танглов.
Пререквизиты: курс ориентирован на школьников, и не предполагает никаких знаний, выходящих за рамки стандартной школьной программы.