на главную страницу ЛШСМ-2021 к списку курсов ЛШСМ-2021

Антон Андреевич Айзенберг

Приложения конечных топологий

А. А. Айзенберг планирует провести 2–3 занятия.

Необходимое правило курса наглядной топологии — не упоминать определение топологии. Потому что на интуитивном уровне совершенно непонятно, какое отношение системы открытых и замкнутых множеств имеют к разрезаниям ленты Мёбиуса, прогулкам по бутылке Клейна, выворачиванию сферы наизнанку и прочим прелестным фокусам. Для понимания большинства стандартных иллюстративных примеров требуется поверить, что топологические пространства — это подмножества в $\mathbb{R}^n$, которые разрешается непрерывно деформировать. С этой точки зрения интересные топологические пространства обязаны быть бесконечными множествами. С бесконечными множествами невозможно работать алгоритмически, поэтому самая общая топология с приложениями не дружит.

Этот курс будет не наглядным: в нем прозвучит определение топологии (хотя картинки тоже будут). Речь пойдет про конечные топологические пространства. С одной стороны, с такими пространствами можно работать на компьютере. С другой стороны, они могут иметь вполне содержательную топологию. Например, существует аналог окружности, состоящий из 4 точек, и аналог отрезка из 3 точек. Мы поговорим про понятие ядра конечной топологии и связанное с ним понятие сильного вдавливания, которое позволяет монотонно упрощать конечное пространство.

Для привычных нам бесконечных пространств проверка гомотопической эквивалентности — задача трудная, и порой неразрешимая. Однако во вселенной конечных пространств верен прямо противоположный факт: два конечных пространства гомотопически эквивалентны в том и только том случае, когда они имеют одинаковые ядра. Различные вариации идеи сильного вдавливания в настоящее время становятся популярны в вычислительной топологии, об этом я тоже постараюсь рассказать.

План:

  1. Топология. Симплициальные комплексы. Частично упорядоченные множества, диаграммы Хассе. Топология Александрова. Теоремы МакКорда для симплициальных и клеточных комплексов.
  2. Гомеоморфизмы и гомотопические эквивалентности конечных пространств. Сильное вдавливание. Ядро топологии. Приложения. Если позволит время, я расскажу про анализ формальных понятий, и как на него можно смотреть топологически.