на главную страницу ЛШСМ-2019 к списку курсов ЛШСМ-2019

Евгений Юрьевич Смирнов

Фризы и цепные дроби

Е. Ю. Смирнов планирует провести 4 занятия.

Фризы были определены в работах Конвея и Коксетера в 1973 г., однако всплеск интереса к ним произошел в недавнее время в связи с появившейся в начале 2000-х гг. теорией кластерных алгебр. Фриз — это таблица из чисел наподобие следующей: $$ \begin{array}{cccccccccccccc} \phantom{0}&1 && 1&& 1&& 1&& 1&& 1&& \dots\\ \dots &&1&&3&&1&&3&&1&&3\\ &2&&2&&2&&2&&2&&2&&\dots\\ \dots&&3 &&1&&3&&1&&3&&1\\ &1 && 1&& 1&& 1&& 1&& 1&& \dots\\ \end{array} $$ удовлетворяющая условию унимодальности: для любых четырех чисел $\begin{array}{ccc}&b&\\a &&d\\&c\end{array}$ в вершинах единичного ромба верно равенство $ad-bc=1$, и граничным условиям: первая и последняя строки состоят из одних единиц. Такие таблицы обладают рядом загадочных свойств: например, они оказываются периодичными с периодом $m+3$, где $m$ — число неединичных строк, а фризы с целыми положительными элементами соответствуют триангуляциям $(m+3)$-угольника.

Мы обсудим эти свойства фризов и выясним, как они связаны с различными способами разложения рационального числа в цепную дробь, сложением дробей «по Фарею» (это когда $\frac23+\frac34=\frac57$) и при чем тут действие группы $PSL(2,\mathbb{Z})$.

Если позволит подготовка и энтузиазм слушателей, на последнем занятии можно будет обсудить связь фризов с представлениями колчанов и многообразиями Грассмана. Первые три занятия, напротив, предполагаются доступными для школьников.