на главную страницу ЛШСМ-2019 к списку курсов ЛШСМ-2019

Наталья Рожковская

Солитонные уравнения и симметрические функции

Н. А. Рожковская планирует провести 4 занятия.

Солитонами называются решения нелинейных уравнений в частных производных обладающие рядом удивительных свойств. Эти решения можно выписать явно, и во многих случаях они представляют из себя одну или несколько движущихся изолированных волн, сохраняющих со временем форму, и необычным образом взаимодействующих друг с другом при столкновении.

Оказывается, такое поведение солитонных решений вызвано наличием скрытых симметрий уравнений, широко изучаемых в других областях математики.

Сегодня солитонами занимаются специалисты совершенно разных областей науки. Цель нашего курса — проследить, как удалось найти решения солитонного уравнения Кадомцева–Петвиашвили, связав его, на первый взгляд, с очень далекой областью математики, с симметрическими функциями.

Программа курса

  1. Примеры солитонных уравнений, их решений. Свойства солитонов.
  2. Определение и свойства производных Хироты.
  3. КдФ уравнение и уравнение Кадомцева–Петвиашвили (КП) в терминах производных Хироты.
  4. Билинейная форма КП иерархии.
  5. Симметрические функции: основные определения, свойства элементарных, полных симметрических и степенных функций.
  6. Интерпретация билинейной формы КП иерархии в симметрических функциях.
  7. (*) Немного про действие фермионов на симметрических функциях и решения КП иерархии.

Пререквизиты

Желателен опыт работы с производными и знакомство с примерами дифференциальных уравнений.