на главную страницу ЛШСМ-2019 к списку курсов ЛШСМ-2019

Антон Андреевич Айзенберг

Вокруг g-теоремы

А. А. Айзенберг планирует провести 4 занятия.

Курс будет посвящен алгебраической комбинаторике многогранников, триангулированных сфер и триангулированных многообразий с разбором большого числа конкретных примеров и вычислений.

Благородная цель: дойти до формулировки и идеи доказательства g-теоремы: теоремы, которая дает исчерпывающее описание всех таких наборов чисел (f0,f1,f,...,fn), для которых существует n-мерный симплициальный многогранник, имеющий ровно f0 вершин, f1 ребер, f2 треугольников, и так далее.

Примерная программа

  1. Симплициальные комплексы. Симплициальные многогранники. h-числа симплициальных комплексов. Соотношения Дена-Соммервилля для многогранников. Формула Эйлера.
  2. Линки в симплициальных комплексах. Числа Бетти симплициальных комплексов: идея и примеры. Эйлерова характеристика. Гомологические многообразия и гомологические сферы.
  3. Неотрицательность h-чисел гомологических сфер. Градуированные алгебры. Алгебра Стенли- Райснера симплициального комплекса: подсчет количества мономов. Векторные раскраски симплициальных комплексов и зачем они нужны: теорема Райснера.
  4. h-числа симплициального многогранника образуют горку. Элемент Лефшеца в алгебре. Комбинаторика гомологических многообразий: теорема Шенцеля и h'-числа, теоремы Новик-Шварца и h''-числа. Минимальные триангуляции двумерных поверхностей.