Н. А. Тюрин планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Если представлять себе выдающиеся произведения научной литературы как горные маршруты, уводящие в небо, то наш небольшой курс — не более чем прогулка с видом на далекие белоснежные вершины. Мы собираемся просмотреть видимые начала одного из красивейших маршрутов, уводящего далеко за облака, к высоким перевалам и вершинам классической механики. Очень скоро вчерашние школьники сами выйдут на этот маршрут, а пока… давайте немного потренируемся.
Необходимым на маршруте будет знание о том, откуда берутся векторные поля и дифференциальные формы. И поскольку мы готовимся к маршруту, проложенному В.И.Арнольдом, то в понимании этих геометрических объектов (а также в том, что такое дифференциальное уравнение) мы будем следовать ему.
Аристотель считал, что движение описывается дифференциальным уравнением первого порядка, возможно именно поэтому древние греки, прекрасно разбиравшиеся в конических сечениях, описывали движение небесных тел с помощью эпициклов. Ньютон описал движение дифференциальным уравнением второго порядка; понижая порядок и переходя от конфигурационного пространства к фазовому, можно представить все в простой и красивой форме.
Как нас учили на уроках физики в школе, решать задачи удобно через законы сохранения. В самом общем смысле этот принцип может быть сформулирован так: если физическая величина (= некоторая функция на фазовом пространстве) коммутирует с гамильтонианом (= выделенная функция на фазовом пространстве, определяющая движение системы) относительно кососимметрической операции (называемой скобками Пуассона), то эта величина является инвариантом движения и называется интегралом движения.
Главное отличие подхода В.И.Арнольда к классической механике по сравнению со «стандартными» физическими курсами в том, что он приложим к любому фазовому пространству, в том числе к случаю компактного фазового пространства (некоторые даже приписывают Арнольду обобщение классической механики на компактный случай, хотя очевидно что Дирак вполне разбирался в этом вопросе, вводя свои системы со связями). Этот путь выводит к началу другого маршруту на соседнюю, еще не пройденную вершину — симплектическую топологию.