Гаянэ Юрьевна Панина

Ряд задач комбинаторной геометрии можно решить, оперируя только лишь идеей непрерывности (например, задача А). Однако для продвинутых задач в том же духе (например, задача В) одной непрерывности мало (попробуйте убедиться сами). Достаточно универсальное средство следующей ступени — класс Эйлера.

Я объясню: (1) что такое класс Эйлера — для математической культуры, (2) как им пользоваться — для пополнения инструментария слушателей, (3) что такое локальные комбинаторные формулы — для воспитания вкуса.

План

• Как можно и как нельзя пользоваться непрерывностью: анализ подводных камней.
• Векторные расслоения. Класс Эйлера. Как пользоваться: Теорема Борсука–Улама и теорема о вписанном в кривую квадрате.
• Расслоения со слоем «окружность», класс Черна–Эйлера.
• Локальная комбинаторная формула Мнева–Шарыгина.
• Функториальность класса Эйлера. Классифицирующее пространство. Локальная комбинаторная формула Игусы.

Пререквизиты: непрерывность, комплексные числа, конечномерные векторные пространства.

Задача А. Пусть А — плоская фигура. Покажите, что найдутся две взаимно ортогональные прямые, делящие А на четыре равные по площади части.

Задача В (теорема о бутерброде с ветчиной). Пусть А, В, С — три выпуклых тела в трехмерном евклидовом пространстве. Покажите, что существует плоскость, делящая каждое из них на две равные по объему части.

Материалы

• Предв. задачи к курсу