Замощение плоскости многоугольниками — это покрытие плоскости многоугольными плитками без пробелов
и наложений. Зафиксировав какой-нибудь конечный набор плиток, который мы будем называть
протомножеством, можно попытаться замостить плоскость копиями этих плиток. Ситуации, в которых это
удаётся сделать, могут быть трёх различных типов:
- все замощения данным набором плиток периодические,
- существуют как периодические, так и непериодические замощения,
- все замощения данным набором плиток непериодические.
В последнем случае соответствующее протомножество, равно как и любое замощение, получающееся на его
основе, называется апериодическим.
В первой части лекций я постараюсь продемонстрировать различные способы, которыми можно получать
периодические и непериодические замощения, и вывести общие законы, которым эти замощения
подчиняются. Вторая часть будет посвящена природе апериодических замощений, и чтобы глубже понять её,
в какой-то момент мы перейдём от замощений плоскости к замощениям других объектов. Специальных
предварительных знаний у слушателей не предполагается, и хотя знакомство с основами топологии упростит
понимание второй части лекций, все необходимые понятия будут объяснены по ходу изложения.
Примерная программа курса
- Понятия плитки, протомножества, замощения. Лемма Кёнига и достаточное условие существования
замощения с данным протомножеством (можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса). Задача
Хееша.
- Группа симметрий замощения, периодические и непериодические замощения. Фундаментальная
область и формула Эйлера. Теорема том, что если группа симметрий замощения обладает
параллельным переносом, то существует периодическое замощение с тем же протомножеством.
- Самоподобные фигуры, процесс дефляции-инфляции, слабая и строгая иерархия, самоподобные
замощения и их свойства. Метод «вырезать и спроецировать» (cut-and-project method).
- Апериодические протомножества и апериодические замощения. Замощения Робинсона и Пенроуза.
Гипотеза Конвея (Einstein problem), плитка Соколара–Тейлора и бипризма Конвея–Данцера–Шмидта.
- Топология на замощениях. Теорема Долбилина (если данное протомножество допускает замощение,
то либо существует периодическое замощение с этим протомножеством, либо оно апериодично и
допускает континуум различных непериодических замощений).
- Асимптотические вопросы, связанные с замощениями цилиндра и компактных поверхностей.
Материалы
