Всем известно, что полный квадрат может оканчиваться на 0, 1, 4, 5, 6 и 9, но не на 2, 3, 7 или 8. А как обстоят дела в других системах счисления? Иными словами: дано число n; какие остатки при делении на n могут давать полные квадраты?

На этот естественный вопрос существует красивый и нетривиальный ответ, найденный в конце XVIII века великим математиком К.-Ф.Гауссом. Теорема, доказанная тогда Гауссом, оказалась связанной с важнейшими задачами теории чисел.

У теоремы Гаусса существует множество различных доказательств. Для нашего курса мы выбрали доказательство не самое элементарное, но зато хорошо демонстрирующее внутренний смысл теоремы.

1. Постановка задачи о квадратичных вычетах.
   Функция Эйлера и первообразные корни. Когда −1 является полным квадратом?
2. Корни из единицы. Когда 2, 3 или 5 является полным квадратом?
3. Гауссовы суммы. Теорема Гаусса в общем случае.
4. Снова гауссовы суммы. Квадратные корни и тригонометрия.

Длительность курса — 3–4 занятия.
Курс предназначен для учеников 9–10 классов.
Сверх школьной программы необходимо иметь начальное представление об «арифметике остатков» и знать геометрический смысл умножения комплексных чисел.