На главную страницу ЛШСМ-2011 К списку курсов ЛШСМ-2011

Гаянэ Юрьевна Панина

Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию

Г.Ю.Панина планирует провести 4 занятия

Торическое многообразие — (относительно) простой пример алгебраического многообразия. На нем хорошо видны многие алгебро-геометрические объекты: пучки, сингулярности, дивизоры, теория пересечений…

Кроме того, теория торических многообразий связывает алгебраическую геометрию и геометрию (с акцентом на комбинаторику) выпуклых многогранников. Все, что происходит на уровне многогранников, можно перевести на алгебро-геометрический язык, и наоборот (см. программу ниже). Это современная математика, уже успевшая стать классической.

Программа курса.

  1. Аффинные алгебраические множества. Соответствия «точка — максимальный идеал» и «неприводимое множество — простой идеал». Конструкция «конус — алгебра полиномов Лорана — аффинное торическое многообразие». Уже интересно, т.к. становятся видны сингулярности многообразия.
  2. Склеиваем многообразие из аффинных карт. Соответствие «многогранник — веер — торическое многообразие». Примеры: проективная прямая, проективная плоскость (видите, не так уж и страшно), поверхность Хирцебруха. Появляется структурный пучок.
  3. Тор и его действие. Инвариантные подмногообразия.
    Соответствие «грани многогранника — инвариантные подмногообразия».
  4. Раздутие точки на алгебраическом многообразии.
    Соответствие «раздутие — измельчение веера — отрезание уголка многогранника».
  5. Пучки модулей на торическом многообразии. Соответствия «многогранник — обратимый пучок», «целая точка многогранника — глобальное сечение пучка», «сумма Минковского — тензорное произведение пучков». В этой связи абсолютно естественно появляются виртуальные многогранники.
  6. Теория пересечений. Смешанные объемы, соответствия «смешанный объем — индекс пересечения», «неравенство Александрова-Фенхеля для смешанных объемов — неравенство Ходжа для индексов пересечения». Теорема Бернштейна?Кушниренко о числе корней системы полиномиальных уравнений.

От слушателей требуется владение понятиями «коммутативное кольцо», «идеал», «фактор», «поле», «гомоморфизм», «действие группы», «орбита», «проективная плоскость», «комплексные числа».

Доступен конспект курса.


Rambler's Top100