На главную страницу ЛШСМ-2006

Аскольд Георгиевич Хованский.

(Фото С.Ю.Третьяковой)

Полиномы Лагранжа и их применения в математике.

А.Г.Хованский планирует провести 2-3 занятия.

Интерполяционный полином Лагранжа над полем вещественных чисел R — это полином стенепи n с вещественными коэффициентами, принимающий в n заданных вещественных точках (называемых узлами интерполирования) заданные вещественные значения. Аналогично определяется полином Лагранжа над произвольным полем K. Интерполяционные полиномы Лагранжа задаются простыми явными формулами. Они интенсивно используются в прикладной математике. Но у них есть и совсем другие применения. Полиномы Лагранжа помогают доказать следующие классические теоремы из чистой математики:

1. Конечная коммутативная группа матриц над полем K приводится к диагональному виду (здесь дополнительно нужно требовать, чтобы поле K содержало все корни k-ой степени из единицы, где k — порядок группы, и чтобы k не делилось на характеристику поля K).
2. Алгебраическое уравнение степени <5 решается в радикалах.
3. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами решается в явном виде.
4. Для любого полинома от одной переменной с рациональными коэффициентами явно решается следующая задача: определить, раскладывается ли полином на множители, являющиеся полиномами положительных степеней с рациональными коэффициентами, или нет; если «да», то найти его разложение на множители.
5. Для достаточно общей системы из k полиномиальных уравнений степеней m₁,... ,m_k от k неизвестных справедлива формула Эйлера–Якоби: Σ_a∈A Q/J(a) =0. Здесь A — множество корней системы, Q — любой полином степени < m₁+...+m_k-k и J — якобиан системы.

В цикле лекций будут объяснены все эти результаты. Мне понадобятся некоторые понятия (поле, его характеристика, линейное пространство, коммутативная группа матриц и т.д.), выходящие за рамки школьного курса. Но я надеюсь, что многое будет доступно школьникам. Я начну с явной формулы для полинома Лагранжа и с решения следующей задачи, обобщающей школьную теоремы Безу: найти остаток при делении многочлена (большой степени) на заданный многочлен (маленькой степени), корни которого известны.