Роман Михайлович Фёдоров

Представления колчанов

Р.М.Фёдоров планирует провести 4 занятия.

Колчан — это просто ориентированный граф. Говорят, что задано представление колчана, если каждой вершине графа поставлено в соответствие линейное пространство, а каждому ребру — линейное отображение между соответствующими пространствами. Представления колчанов оказываются связанными с самыми разными областями математики — теорией представлений, гомологической алгеброй, алгебраической геометрией и т.д.

Естественная задача — классифицировать представления данного колчана. С этим связана теорема Габриэля, описывающая колчаны, чьи представления допускают наиболее простую классификацию. Это — колчаны, соответствующие диаграммам Дынкина без кратных ребер, диаграммы Дынкина встречаются в самых разных областях математики — теории алгебр Ли, теории особенностей и т.д.

Я сформулирую теорему Габриэля на первом занятии, здесь же укажу два частных случая:

• Три прямые на плоскости, проходящие через одну точку, можно перевести в любые другие аффинным преобразованием. Для четырех прямых это не верно — имеется инвариант.
• Классификация линейных отображений из одного векторного пространства в другое устроена очень просто — единственный инвариант — это ранг отображения. Классификация линейных отображений из линейного пространства в себя значительно сложнее — например, инвариантами являются собственные значения.

Программа курса

• Представления колчанов.
• Теорема Габриэля и диаграммы Дынкина.
• Доказательство необходимости.
• Обсуждение доказательства достаточности.

Я не знаю насколько полно мне удастся изложить доказательство достаточности. Тем не менее, я надеюсь, что смогу объяснить связь колчанов с различными интересными вещами. Возможно, удастся немного поговорить про теорию категорий и гомологическую алгебру.

Требования к слушателям: