Задачи для исследования студентам и школьникам / Introductory research problems

If you solve some introductory exercises on some topic, then we can meet and discuss future work. Write to my address sk*penk*@mccme.ru, *=o.
Если Вы решите несколько вводных задач по какой-либо теме, то я буду рад встретиться с Вами или выступить на семинаре с Вашим участием. Напишите мне по sk*penk*@mccme.ru, где *=o.
Студенты ФИВТ МФТИ могут работать над задачами для исследования в рамках мат. практикума, полугодовой курсовой работы по научному треку инновационного практикума, дипломной работы. Приглашаю к сотрудничеству также студентов НМУ и (в исключительных случаях) других ВУЗов.
Некоторые задачи доступны школьникам. Ученики `Интеллектуала' могут подойти ко мне на уроки или в перемену между ними (в кабинет или учительскую).
Q: Какие темы курсовых у Вас ещё свободны? A: В первом приближении все свободны. Подробнее обсудим при встрече после решения Вами вводных задач. Нижеприведенный список тем и уже подготовленных курсовых регулярно обновляется. Even if some papers below are listed, there still remain interesting research problems on the corresponding subject.

Последнее обновление 21.09.2022.

Разное

  • Примеры курсовых работ:
    * I. Vasenov, Tiling of regular polygon with similar right triangles, I, arXiv:2010.05052.
    * M. Laczkovich, I. Vasenov, Tiling of regular polygons with similar right triangles arXiv:2109.07817.
    * L. Vigdorchik, Tiling of regular polygon with similar right triangles, II, preprint.
  • Степенные последовательности (п. 2.11) и тета-гамильтоновость (п. 2.12).
  • Поверхности из квадратиков / Surfaces made by squares.
    Приведите четкие формулировки, полные доказательства и обобщения гипотез работы (по ошибке названных теоремами).
    Give rigorous statements, complete proofs and generalizations of conjectures of the paper (which were called theorems by mistake).

    Netflix problem and realization of (hyper)graphs

    Low rank matrix completion / Минимизация ранга восполнением матриц.
    Netflix problem and realization of (hyper)graphs.
    S. Dzhenzher and A. Skopenkov, Quadratic estimation for the Kühnel conjecture, slides soon to appear.
    Примеры курсовых работ:
    * A. Bikeev, Realizability of discs with ribbons on a Moebius strip, arXiv:2010.15833.
    * A. Bikeev, Towards a short proof of the Fulek-Kyncl criterion for modulo 2 embeddability of graphs to surfaces, arXiv:2012.12070.
    * E. Kogan, On the rank of Z_2-matrices with free entries on the diagonal, arXiv:2104.10668.
    Примеры:
    * E. Kogan and A. Skopenkov, A short exposition of the Patak-Tancer theorem on non-embeddability of k-complexes in 2k-manifolds, arXiv:2106.14010.
    * E. Kogan and A. Skopenkov, Embedding of k-complexes in 2k-manifolds and minimum rank of partial symmetric matrices, arXiv:2112.06636.
    * S. Dzhenzher and A. Skopenkov, To the Kühnel conjecture on embeddability of k-complexes in 2k-manifolds, arXiv:2208.04188.

    Графы на плоскости и на поверхностях / Graphs in the plane and on surfaces

    Вводные задачи в п. 1.4, 1.5, 2.2-2.5, основные в п. 2.9 `Реализуемость утолщений'.
    Пример курсовой работы:
    * T. Garaev. On almost embeddings of K_5 in the plane, draft.
    Пример одного из основных результатов докторской диссертации (МГУ, 2008, В.О. Мантуров, теорема 10): A. Skopenkov, Embeddings into the plane of graphs with vertices of degree 4, Мат. Просвещение, 21 (2017), 197-204, arXiv:1008.4940.
  • Разводимость путей на плоскости / Stability of intersections of paths in the plane
  • Параграф 3 `Устойчивость самопересечений графов на плоскости'.
    Устойчивость пересечений путей на плоскости / Stability of intersections of paths in the plane. Вводные задачи в первом пункте, основные в его конце.
    A. Skopenkov, Stability of intersections of graphs in the plane and the van Kampen obstruction, Topol. Appl. 240 (2018) 259-269, arXiv:1609.03727.

    Гиперграфы в трехмерных (и многомерных) многообразиях

    Трехмерные утолщения двумерных гиперграфов: параграф 8.
  • Реализуемость косых произведений графов:
  • Пункт 5.15.
    Пример возможной дипломной работы: D. Tonkonog, Embedding 3-manifolds with boundary into closed 3-manifolds, Topol. Appl., 158 (2011) 1157-1162. arXiv:1003.3029.
  • Дружественность деревьев / Friendliness between trees:
  • См. стр. 1-3.
    Примеры курсовых работ:
    * A. Rukhovich, On intersection of two embedded spheres in 3-space, Topol. Appl. 170 (2014) 96-103, arXiv:1012.0925.
    * S. Avvakumov, How do curved spheres intersect in 3-space? Topol. Appl. 172 (2014) 87-94, arXiv:1210.7361.
    * V. Belousov, A smaller counterexample to the Lando conjecture, arXiv:1311.3086.
    * D. Kolodzey, On friendliness between trees, arXiv:1509.00370.

    Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии

    Параграфы 2 и 6.
    A. Skopenkov, A user's guide to the topological Tverberg conjecture, Russian Math. Surveys, 73:2 (2018) 323-353.
    A. Skopenkov, Whitney trick for eliminating multiple intersections.
    Problem. Существуют ли (7) 7; \quad (8) 8; \quad (9) 9; \quad (10) 10; \quad
    точек пространства, при любом разбиении которых на 3 множества выпуклые оболочки некоторых двух из этих множеств не пересекаются?
    Примеры курсовых работ:
    * D. Yang, An elementary proof of Borsuk theorem, arXiv:1010.1990 (немного по другой теме).
    * N. Khoroshavkina, A simple characterization of graphs of cutwidth 2, arXiv:1811.06716.
    * E. Kolpakov, A `converse' to the Constraint Lemma, arXiv:1903.08910 (дипломная работа).
    * Е. Колпаков, Доказательство теоремы Радона при помощи понижения размерности, Мат. Просвещение, 23 (2018). arXiv:1903.11055.
    * В.И.Ретинский, А.Д.Рябичев, А.Б.Скопенков. Мотивированное изложение доказательства теоремы Тверберга, Мат. Просвещение, 27 (2021), 166-169. arXiv:2008.08361.
    * В. Ретинский и Д. Захаров, Фишки в вершинах дерева, draft.
    * A. Asanau, On the \lowercase{TRIPLE SELF-INTERSECTION NUMBER FOR GRAPHS IN THE PLANE,} draft.

    Зацепления и вложения

  • Linking in 3-space
    Introductory problems: \S4.1, \S4.8. A user's guide to knot and link theory, English version: in Topology, Geometry, and Dynamics, Contemporary Mathematics, vol. 772, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2021, pp. 281-309. Russian version: Mat. Prosveschenie 27 (2021), 128-165.
    Примеры курсовых работ:
    * E. Kogan, Linking of three triangles in 3-space, arXiv:1908.03865.
    * Т. Гараев, Элементарное доказательство существования полинома Конвея, Мат. Просвещение, 29 (2022) 184-199. arXiv:2012.03086.
    * A. Asanau, \lowercase{A SIMPLE PROOF THAT CONNECTED SUM OF ORDERED ORIENTED LINKS IS NOT WELL-DEFINED,} Math. Notes, accepted.
  • Realizability of hypergraphs and Ramsey link theory
    Presentation; full text. Подробнее: Параграфы 1 и 5. Introductory problems.
    A. Skopenkov, Realizability of hypergraphs is undecidable: arXiv:2008.00492.
    Пример курсовой работы: A. Zimin, Alternative proofs of the Conway-Gordon-Sachs Theorems, arXiv:1311.2882.
    Примеры дипломных работ:
    * R. Karasev, A. Skopenkov, Some `converses' to intrinsic linking theorems arXiv:2008.02523 (жаль, что это написали мы с РН, а не студент).
    * E. Alkin, Hardness of almost embedding simplicial complexes in R^d, II, arXiv:2206.13486.
    Пример PhD thesis (IST Austria, 2017, S. Parsa): A. Skopenkov, A short exposition of S. Parsa's theorems on intrinsic linking and non-realizability, arXiv:1808.08363.
  • Заузливание многомерных многообразий
    Зацепления: параграф 4.
    A. Skopenkov, Embeddings in Euclidean space: an introduction to their classification, to appear in Bull. Man. Atl.
    Примеры дипломных работ
    * (НМУ, 2014) S. Avvakumov, The classification of certain linked 3-manifolds in 6-space, Moscow Math. J., 16:1 (2016), 1-25. arXiv:1408.3918.
    * (матфак ВШЭ, 2021) М. Fedorov, A description of values of Seifert form for punctured n-manifolds in (2n-1)-space, arXiv:2107.02541
    Примеры возможных кандидатских диссертаций (или глав в них):
    * D. Tonkonog, Embedding punctured n-manifolds in Euclidean (2n-1)-space, arXiv:1010.4271.
    * S. Avvakumov, The classification of linked 3-manifolds in 6-space, submitted, arXiv:1704.06501.
    Пример введения в дипломную работу или кандидатскую диссертацию: M. Fedorov, Embeddings of manifolds with boundary: classification (версия от июня 2020 - курсовая работа); Some calculations involving configuration spaces of distinct points.
    Пример кандидатской диссертации (МГУ, 2008): М.Б. Скопенков, Классификация зацеплений и ее применения.

    Теорема Колмогорова-Арнольда о суперпозициях / On Hilbert's 13th problem on superpositions

    Базисность плоских множеств / Basic planar sets.
    13я Проблема Гильберта о суперпозициях функций / 13th Hilbert Problem on superpositions of functions.
    Вводные задачи: стр. 13-14. Basic embeddings and Hilbert's 13th problem on superpositions (in Russian). Basic embeddings and Hilbert's 13th problem on superpositions.
    Примеры курсовых работ:
    * S. Dzhenzher and A. Skopenkov, A structured proof of the Kolmogorov superposition theorem, arXiv:2105.00408.
    * I. Reshetnikov, Decomposition of number arrangements in the cube, arXiv:1412.8078. См. также: Kh. Nurligareev, I. Reshetnikov, Decompositions of functions defined on finite sets in R^d, Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 31:2 (2022), arXiv:2204.11084.
    Пример дипломной работы
    * S. Dzhenzher, A simpler proof of the Sternfeld theorem, arXiv:2110.15565.
    Пример главы в кандидатской диссертации (МГУ, 2003): V. Kurlin, Basic embeddings into a product of graphs, Topology and Its Applications, 102:2 (2000), 113-137.

    Алгоритмы решения алгебраических уравнений

    Сложность решения уравнений / Complexity of solving equations.
    К алгоритмам решения алгебраических уравнений / Toward algorithms of solving of algebraic equations.
    Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals. Еще несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах.
    Примеры курсовых работ:
    * А. Сафин, Программа для построения правильных многоугольников циркулем и линейкой draft, 2008.
    * D. Akhtyamov and I. Bogdanov, Solvability of cubic and quartic equations using one radical, arXiv:1411.4990.
    * E. Kogan, Set complexity of construction of a regular polygon, arXiv:1711.05807, Мат. Просвещение, 23 (2019).

    Другие задачи для исследования (в т.ч. учебные)

    Их можно найти в заметках и в материалах Московской математической конференции школьников. Среди них много задач, доступных и интересных студентам и школьникам, занимающимся программированием и компьютерной наукой.