Курсы топологии в исполнении А.Б. Скопенкова

  • О стиле преподавания (в т.ч. об экзамене/зачете)
  • Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии), ФИВТ, и Основы топологии, ФОПФ+ФУПМ, МФТИ, осень 2023 (и ранее; прежнее название для ФОПФ - Cовременные топологические методы в физике)
  • Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий, ФИВТ МФТИ, осень 2023 (и ранее)
  • Алгебраическая топология многообразий в интересных результатах, НМУ, осень 2023
  • Гомотопическая топология и ее приложения, ФИВТ МФТИ, осень 2023
  • Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов - 1, 2, часть 1: МФТИ, НМУ, весна 2023 (и ранее обе части: МФТИ, НМУ)
  • Топология гиперграфов и многообразий в интересных результатах, МФТИ, 2022-2023 уч. год (и ранее: МФТИ, НМУ)
  • Введение в топологию для пользователя, НМУ, осень 2022
  • От векторных полей к характеристическим классам, ФИВТ МФТИ, осень 2022 (и ранее: НМУ)
  • Введение в топологическую комбинаторику, ФИВТ МФТИ и НМУ, весна 2022 (и ранее)
  • Классификация зацеплений, НМУ, осень 2019 (и ранее)
  • Другие ранее исполненные курсы
  • Алгебраическая топология с геометрической точки зрения
  • Мотивированное и доступное изложение основ топологии
  • Задачи для исследования (студентам и аспирантам)

    О стиле преподавания

    Поэзия

    D. Meyer, Develop a question before answering it.
    D. Meyer, Create a headache before offering aspirin.
    Inquiry-based learning.
    Предисловие в книге Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник, Конкретная математика. М.: Мир, 1998.
    П.Л. Капица, Как следует изучать физику, М. 2020.
    Памятка поступающим в 9й класс 179й школы, от Н.Н. Константинова, Мат. Просвещение 29 (2022) 86-91.
    `Feynman' technique.
    В.И. Арнольд, Новый обскурантизм и российское просвещение, Фазис, М. 2003 (неомракобесие и преподавание математики).
    А.Х. Шень, О преподавании и пр..
    М.Б. Лагутин, Наглядная математическая статистика, к читателю.
    Введение, стр. 7-12.
    Введение, стр. 6-7.
    П. 11.2 и 11.3 главы 11 <<О преподавании>>.

    Тот, кто упражняется в дао, ежедневно теряет что-то из его внешнего, ложного блеска. (Чжуан-цзы, см. сноску 4 в в заметке)

    The principle is this: that in everything worth having, even in every pleasure, there is a point of pain or tedium that must be survived, so that the pleasure may revive and endure. The joy of battle comes after the first fear of death; the joy of reading Virgil comes after the bore of learning him; the glow of the sea-bather comes after the icy shock of the sea bath; and the success of the marriage comes after the failure of the honeymoon. All human vows, laws and contracts are so many ways of surviving with success this breaking point, this instant of potential surrender. In everything on this earth that is worth doing, there is a stage when no one would do it, except for necessity or honour... The whole aim of marriage is to fight through and survive the instant when incompatibility becomes unquestionable. (G. K. Chesterton, What's Wrong With The World)

    - `It's too difficult.' - `Write simply.' - `That's hardest of all.' (I. Murdoch, The Message to the Planet)

    And the leap is not - is not what I think you sometimes see it as - as breaking, as acting. It's something much more like a quiet transition after a lot of patience and - tension of thought, yes - but with that [enlightenment] as its discipline, its orientation, its truth. Not confusion and chaos and immolation and pulling the house down, not something experienced as a great significant moment. (I. Murdoch, The Message to the Planet)

    The modern world is full of theories which are proliferating at a wrong level of generality, we're so good at theorizing, and one theory spawns another, there's a whole industry of abstract activity which people mistake for thinking. (I. Murdoch, The Good Apprentice)

    См. также эпиграфы к главам в книге.

    Проза (о занятиях и экзамене/зачете)

    Сдача экзамена/зачета проходит на занятиях (с первого по последнее) плюс итоговая часть после. Как ставится оценка за экзамен/зачет? Каждое следующее задание делать легче, если Вы разобрались во всех предыдущих заданиях и при этом большую часть решили самостоятельно.
    Перед каждым занятием отмечайте (цифрой 1) в расшаренном гуглшите (excusez mon russe) задачи, решения которых готовы рассказать на занятии у доски после трехминутной подготовки. За 5 минут до занятия я закрываю гуглшит говорю (или пишу в чате /по эл. почте), кто что готовит рассказывать. (Прошу отмечать все задачи к этому занятию, даже если некоторые из них были заданы к прошлому. Если в Вашем списке окажется менее 5 пунктов, то занятие начнется для Вас с самостоятельного решения наиболее простых из домашних задач, и начало пары произойдет позже.)
    Указания или решения (или ссылки на них) для многих задач к некоторому занятию приведены на предыдущем занятии (или на лекции по ДА). См. также указания в конце параграфов в [S20, S, S18]. Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.
    Чем можно пользоваться без доказательства? Если не оговорено противное, в Ваших решениях не разрешается пользоваться утверждениями, доказательства которых Вы не готовы предъявить (в частности, доказанными на лекциях или разобранными или на прошлых занятиях. В частности, нужно быть готовым рассказать у доски детали доказательств, которые могли не разбираться на лекции или на прошлом занятии. При этом иногда проще не повторить доказательство лекционной теоремы (или ранее разобранной задачи) и использовать ее для решения задачи, а повторить необходимый фрагмент доказательства на примере решения данной задачи. Будьте осторожны: если в цепочке задач каждая опирается на предыдущую, Вы не решили первой из них, и ей не разрешено пользоваться без доказательства, то Вы получите минусы за каждую задачу этой цепочки.
    Заранее вдумчиво проверяйте свои решения - в частности, обсуждением и частичной записью. Это позволит увеличить вклад разбора задач на семинаре в Ваши умения и в зачет. Конкретнее, позволит на занятии разбирать (а не решать) домашние задачи, тем самым тратить на них меньше времени, тем самым тратить на новый материал больше времени, тем самым тратить на новое задание меньше времени, и т.д.   
    Дополнительные задачи отмечены звездочкой. Они принимаются (в любом виде: рассказ у доски, РдП) только у того, кто сделал все задачи без звездочки на данный день, кроме, быть может, двух. Обычно они посложнее и потому учитываются с большим весом.
    На одно из двух последовательных занятий приносите новую версию не засчитанного ранее (письменного) решения для пользователя (РдП), или новое. Полезнее (и выгоднее в плане баллов) присылать версии прежних решений, исправленные в соответствии с замечаниями, а не новые. Новое РдП можно сдавать к любой (на Ваш выбор) задаче из данного или предыдущего задания, не использующей других задач из него же. Рекомендации по решениям для пользователя иллюстрируют содержательные требования. Если наши занятия очные, то я принимаю РдП на бумаге. Если наши занятия дистанционные, то я принимаю РдП по эл. почте в pdf формате (допускающем комментарии). Я не требую распечатки файла, но советую Вам писать в файл (желательно latex), поскольку его легче редактировать (для получения плюса) и включить в электронную версию книги с Вашей фамилией. Я приветствую сдачу в качестве РдП
  • кусочка Вашего текста по мат. практикуму, содержащего формулировки и доказательства;
  • программы по курсу, выложенной на github;
  • мультфильма по курсу, выложенного на youtube.

  • Договоритесь со мной перед тем, как делать эту серьезную работу.
    Типичное пояснение к контрольной работе.
    При очных занятиях я готов заниматься по скайпу и электронной почте (только) со студентами, которые вынуждены пропустить по болезни более одного занятия подряд. Но, конечно, я отвечу и здоровому студенту, если письмо допускает скорый ответ или если в нем найден недочет или неясность в домашнем задании.
    При дистанционных занятиях Вы можете показывать тетрадку с наброском решения на камеру и водить по ней ручкой. Или показывать экран своего компьютера и водить курсором по тексту и рисункам. Как и очно, я дам 5 минут на подготовку (но, для большинства задач, не больше). Поэтому нужно подготовить до занятия набросок каждого Вашего решения для показа (но не РдП). Еще Вы можете прикрепить лист бумаги (A4 или больше) к большой твердой поверхности (фанера, столешница или большая книга) скотчем или кнопками (или зубной пастой) и писать на нем фломастером (почти как на доске). Как и на очном семинаре, вопросы по решению задачи я задаю любому участнику. Потренируйтесь рассказывать решения перед семинаром, чтобы решить технические проблемы перед семинаром, а не на нем. Не болейте.

    Q: Можно ли сдавать задачи, заданные на предыдущие занятия?
    A: Из нужно решать и обсуждать с участниками курса, ибо их правильные решения нужны для понимания дальнейшего материала и успешного написания контрольных и экзаменационных работ. Напрямую за них баллы не ставятся.
    Q: Будет ли видеозапись занятий?
    A: Против видеозаписи я не возражаю, но она не всегда ведется. Изучение книги, самостоятельное решение домашних задач и их обсуждение полезнее просмотра видео.

    Критика

    Отзывы о курсе Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии) студентов, его изучавших (выложенные с их разрешения и в основном анонимные).
    Изучающим и изучившим какой-то из курсов
    Дорогой друг,
    Надеюсь, у Вас все в порядке, насколько это возможно.
    Буду благодарен за Ваше мнение, что из курса стоит сохранить, а что желательно изменить. Если Вы уже сдали курс - что из него оказалось полезным для Вашей дальнейшей учебы и работы, что не оказалось, а чего не хватало. Говорите / пишите и о программе-содержании курса, и об уровне-стиле преподавания. По возможности будьте конкретны: по одному-двум Вашим примерам я пойму Вашу общую мысль, а верно проинтерпретировать общие слова может не получиться. Ваши критические замечания ценны, ибо помогут продумать изменения (они не повлияют на Вашу оценку по курсу, если Вы его еще не сдали). То, что нам нравится, мы часто считаем само собой разумеющимся - но не забывайте явно отметить понравившееся, ибо сохранить его может оказаться непросто. Уже имеющиеся отзывы (выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные) могут помочь Вам удачно сформулировать Ваши мысли.
    Вы можете поговорить со мной, или написать мне лично, или (если важна анонимность Вашего мнения и если Вы - участник курса в МФТИ) написать в анонимную форму на сайте кафедры. Прошу Вашего разрешения опубликовать Ваш отзыв в интернете анонимно (т.е. без Вашей фамилии; без Вашего разрешения публиковать не буду). Такая публикация сделает для студентов (и для коллег) более видимыми и достоинства курса, и работу команды курса над его недостатками (даже если недостатки озвучены в отзывах в благожелательной форме). Если получу Ваше пожелание опубликовать Ваш отзыв с Вашей фамилией (и тогда, желательно, со ссылкой на Вашу интернет-страницу), то сделаю это.
    Мне было интересно с Вами заниматься (или вести совместные занятия), и я рад этой возможности продолжить общение.

    Коллегам. Буду благодарен за Ваше мнение о своих курсах и стиле преподавания. По моему мнению, публичное профессиональное обсуждение разных стилей преподавания способствует развитию науки и образования. Традиция таких обсуждений восходит к Лао Цзы и Платону и продолжена, в частности, Д. Майером, П.Л. Капицей, Н.Н. Константиновым, В.И. Арнольдом и А.Х. Шенем (см. публикации выше). По моему мнению, закулисные административные обсуждения разных стилей преподавания вредят развитию науки и образования, а также ухудшают репутацию соответствующей администрации. Отзывы преподавателей (выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные).


    Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии)

    Курс проводится совместно с А.Д. Руховичем (с осени 2022). Курс проходит по средам с 6.09.2023, 9.00-12.10, в 9242 на Тимирязевской. Курс ориентирован на студентов 2 курса ФПМИ МФТИ (а часть программы без * --- на студентов ФОПФ+ФУПМ), но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Необязательные консультации и досдача задач: среда 14.15-15.00. Договориться о консультациях с Алексеем Дмитриевичем можно по ссылке t{.}me{/}+HLHpbzp54VwzY2Uy. Успехи студентов.
    Аннотация и программа. Для изучения не требуется предварительных знаний. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 6-13.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Литература: [S20, параграфы 1-5], [S, параграфы 1, 4], [CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89], Видеозаписи (2018). Видеозаписи (2023; скоро появятся).
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из [S20] и 1.1, 1.4 из [S14].
    Q: Задачи, как я понял, по дискретному анализу.
    A: Рад, что задачи по топологии показались Вам задачами по дискретному анализу. Стиль нашего курса - начать с заведомо интересного студентам материала и развивать этот интерес, а не загружать студентов материалом, который им неясно зачем.
    С 27.09 студенты могут выбрать вариант `без *'. Те, кто выберут этот вариант, пишут все контрольные работы, начиная со 27.09, по варианту, не включающему материал со *, и более простому. При этом начиная с 27.09 им не засчитываются устные домашние задачи со *, и идеальные письменные решения задач со *. Формула для оценки за семестр `со *' и `без *' одинаковая. Однако тем студентам, у которых меньше времени на изучение курса (в частности, тем, которым приходится тратить больше времени на наработку математической культуры, необходимой для его изучения), любую оценку проще получить по варианту `без *'. Пожалуйста, продумайте Ваш выбор до 27.09, ибо после получения варианта на контрольной 27.09 изменить Ваш выбор нельзя. Cтуденты, выбравшие вариант `без *', на части семинаров будут разбираться с домашними заданиями, консультироваться, писать РДП, писать контрольную (когда она будет). Те из них, кто готовы сдать любую задачу без * из текущего задания (умея доказать все используемые факты из курса), смогут по желанию либо разбираться с прошлыми заданиями, либо получить задание к следующему разу. Для студентов, выбравших вариант `со *', эти части семинаров будут проходить на более высоком уровне (в частности, с более высокими требованиями).

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами.)
    К 6.09: 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из [S20]. Прочитайте первую фразу в п. 2.2. Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы про тор и Cutting a Moebius strip in half (and more). Попробуйте программу A polygonal line avoiding an obstacle.
    К 13.09, Наглядные задачи о поверхностях. Применения неравенства Эйлера: 2b, 3b, 4ab, 5*(две) из п. 2.2 и 2cd*, 3abc, 5c, 1ab из п. 2.3 и 1ad*, 2, 3a из п. 2.4 (в 2.3.5с и 2.4.3a используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 1ca*, 2ab, 6b' из п. 1.4 и 1.5.1*. Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1. Попробуйте программу Boundary circles of disc with ribbons.
    К 20.09, Доказательства формулы Эйлера для плоскости и неравенства Эйлера для поверхностей: 2сd, 5, 6ab, 4, 3ba*, 7a* из п. 1.4 и 1.3.3c (далее используйте без доказательства), 1.3.3d, 2.2.5* и 3b (только K_{5,4}), 4a, 6ab, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.5.1bc (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.1de и из [S, п. 1.3]: 5a*. Определения плоского графа и его грани можно найти в п. 1.3 (или в Википедии). Посмотрите мультфильм `Euler's Formula and Graph Duality'.
    К 27.09, Утолщения. Краевые окружности. Гомеоморфность поверхностей: 1.5.2abcd, 1.5.3aa'bc*, 2.3.4, 2.5.2ab, 2.5.3a, 2.7.1a, 2.7.2abd, 2.7.3a, 1.6.1ad*e*, 1.6.2a*b*, 2.4.8b*, 2.4.7* и из [S, п. 1.3]: 6a*. Посмотрите мультфильм про крендель и про сферу с ручками.
    2.8.3(a) Нарисуйте на диске с~$m$~лентами Мёбиуса $m$~замкнутых несамопересекающихся попарно непересекающихся кривых, объединение которых не разбивает его.
    2.8.5(a) Лента Мёбиуса с~ручкой гомеоморфна ленте Мёбиуса с~вывернутой ручкой.
    К 4.10: 1.6.4ac, 1.6.5, 2.7.3b, 2.7.5, 2.7.6ab*, 2.7.7abc, 2.8.1a, 4.6.3abcdegi*, 5.2.2, 5.2.3ab, 5.3.2abc, 1.6.1f*g*, 1.6.3(bI)*(bE)*a*, 1.1.2*, 2.5.1d'*, 2.7.2c*, 2.8.1d*, 2.8.3a*, 2.8.5a* и из [S, п. 1.3]: 6b*. Посмотрите мультфильмы Real projective plane and Moebius strip, The cross-cap* и Moebius strip and Cross-cap*. Готовьтесь к контрольной работе на 15-20 минут, прорешивая задачи и прочитав типичное пояснение (а дальше уж и без предупреждения).
    К 11.10: 5.4.2ab, 5.4.3a, 5.4.1abcde, 5.4.1ghi, 5.4.3b, 5.5.1ab, 5.2.3d, 5.3.3 (используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d), 5.3.1a, 5.7.1abcd, 5.7.2a, и 1b*c*, 2a*b*a'*b'*, 3a*a'* из п. 2.6.
    К 18.10: по [S]: 1, 2, 3a, 4 из п. 4.1 и 1ab, 2ab, 3b из п. 4.2 и 4.3.1abc (for the case when the vertices are in general position) и по [S20]: 3a'*b*, 4a*b*c*d*, 5(bE)*a*, 7a*b*, 8(bE)*a* из п. 2.6.
    К 25.10: по [S]: 4.3.2, 4.3.6a*b* (for the case when the vertices are in general position), 1.3.3, 1.5.9 и 1, 2abcdef, 3, 4a* из п. 4.4 и по [S20u]: 1.1a, 1.3, 4.1, 2.1a и по [S20]: 2.6.5(bI)*, 2.6.8(bI)*. Посмотрите первую часть лекции и вторую часть рекламы.
    К 1.11: По [S20u]: 1.1ab*c, 2.1b*c, 3.2, 3.3, 4.2, 6.1abcde, 6.2*, 6.3.a*, 5.1a*b*, 5.2a*b* и по [S20]: 1, 2abc, 3ab, 4ab* из п. 3.2 (в 4ab* примеры без доказательств) и [S, 4.4.4a*].
    К 8.11: 3.2.2d, 3.2.3cd, 3.3.1ab и 1, 2ab, 3abc, 4a, 5ac, 6ab, 7ab* из п. 3.4 и 2.6.6*, 2.7.6b*, 2.7.8a*b*с* и [Sk14, 2.4a*b*, 1.2*]. Посмотрите мультфильм о векторных полях.
    К 15.11: 3.2.3d, 3.4.4bc, 3.4.5a и 1a*bcdf, 2bcde, 3abc*, 4cde*, 5ab из п. 3.5 (доказывайте непрерывность, приводя формулу \delta(\epsilon)=...) и 2.7.8c* и [BMS, 5.1*, 5.2*, 5.3.a*b*c*] и [Sk14, 1.5*]. Попробуйте программу Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
    К 22.11: 3.5.5bcd, 3.1.5abcd*e, 3.6.1abcd, 3.6.2, по 3.6.3 укажите минимальные импликации между 3.3.1c, 3.4.5b, Re, которые Вы доказали (минимальность означает отсутствие тех импликаций, которые получаются по транзитивности), 2.7.8c*, 2.7.9a*b*, 5.4.4b*c*d*, 5.4.5*, [Sk14, 1.5*].
    2.8.2(a) Пусть на ленте Мёбиуса нарисован без самопересечений связный граф с~$V$ вершинами и~$E$ ребрами, не пересекающий краевой окружности. Обозначим через~$F$ число граней. Тогда $V-E+F\ge1$.
    (b)~Граф~$K_7$ не реализуем на ленте Мёбиуса.
    К 29.11: 2, 3Sp(докажите), 3 (нарисуйте граф с вершинами 3.1.2, Re, Sp, RePL*, BrPL*, Br\epsilon*, и ребрами - минимальными импликациями, которые Вы доказали; минимальность означает отсутствие тех импликаций, которые получаются по транзитивности; импликации, включающие RePL, BrPL и Br\epsilon, со *), 4 (отчет по 4 аналогичен 3, вершины - 3.1.3 и b,c,d) из п. 3.6 и 3.7.1abcd, 3.7.2abc, 3.8.1ac, 5.4.5*, 5.7.3a*, 2.7.8c*, 2.8.2a*b* и [Sk14, 1.5*]. Посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике. Посмотрите кино о теореме Борсука-Улама и короткометражку о гомотопии.
    К 6.12: 3.7.2cd, 3.8.1c, 3.9.1abcd, 3.9.2a'a''acd (четко сформулированные версии леммы о поднятии гомотопии 3.9.2b можно использовать без доказательства тому, кто доказал лемму о поднятии пути 3.9.2a''), 3.9.3a, 3.1.2, 3.6.3.Re,Sp (докажите), 3.1.3, 3.6.4bcd (докажите), 3.3.1c, 3.4.5b, 5.7.3a*, 3.11.2a*b*c*, 3.11.3a*b*c*d*e*, 3.1.7a* и [Sk14, 1.5*]. Посмотрите первую половину немого кино о накрытиях.
    К 13.12: (лемму о поднятии гомотопии 3.9.2b уже нельзя использовать без доказательства) 3.8.1b, 3.9.2b'be, 3.9.3bc, 3.9.4ab*, 3.1.3, 3.1.4b, 3.10.1abс, 3.10.2, 4.2.1, 4.2.2, 3.11.1a*b*, 3.1.1*, 3.1.5f*, 3.1.6*, 3.1.7b* и [Sk14, 2.8*, 1.5*, 2.9*].
    К экзамену 9.1 (повторение + по лекции 13.12; можно обсудить на необязательной консультации; предложения по ее времени, согласованные со студентами, просим старост прислать не позже, чем за 3 суток до самого раннего предложения): 3.7.2d, 3.8.1c, 3.9.2ab, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4b, 3.6.3.Re,Sp (докажите), 3.6.4bcd (докажите), 3.10.1abс, 3.10.2, 3.10.3a*b*, 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3b*, 4.1.1a, 4.3.1abcd, 4.4.1a*, 3.11.1a*b*, 3.11.2b*, 3.11.3b*c*d*e*, 3.1.1*, 3.1.5f*, 3.1.6*, 3.1.7a*b* и [Sk14, 2.8*, 1.5*, 2.9*]
    Экзамен 9.1 (3 курс 20.12) состоит из письменной части (10.00-10.30 для всех) и устной части (10.35-11.35; возможно, часть студентов без * будет приглашена на 11.35-12.35; эти 60 минут на все - подготовку, ответ, заслушивание объяснений экзаменатора, что и почему неправильно). Общие критерии такие же, как на дискретном анализе (стр. 3) и в типичном пояснении к контрольной работе. БУЛЛА экзаменаторам по курсу <<Введение в топологию>> (ее разрешается посмотреть и студентам).


    Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий

    Курс проходит по средам с 6.09.2023, 17.05-20.00 (c 20-минутным перерывом) в 533 ГК. Курс ориентирован на студентов 3 курса ФПМИ МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями.
    Аннотация и программа (в 2022 курс проходил по другой программе, не пересекающейся с этой обычной программой). Для изучения курса достаточно владеть владеть основами математического анализа нескольких переменных, основами топологии двумерных поверхностей, и гомотопической классификацией отображений окружности в себя [S20, \S\S 2, 3, 4.1, 5.1]. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 5-10.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Литература: [S20, параграфы 4, 6, 8, 9, 10]. Успехи студентов. Видеозаписи занятий (2021).
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 4.6.2, 6.7.7, п. 8.1, п. 8.5, 9.1.3-9.1.5 из [S20].

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами.)
    К 6.09: 1.1acd, 1.3bc, 1.4ab из [ADN] и 6.1.2ab*, 6.6.1a, 8.1.1a из [S20].
    Для АМ по cyclesg-jour.pdf: 1.1bef, 1.2bcd, 2.2ab, 2.3a*b*c*.
    К 13.09: 1ab, 2ab, 3abcd*, 5bd из п. 6.2 и 1bcd, 2ab, 3, 7a, 4abc, 5a, 5b (параллель и меридиан не гомологичны), 6a (простой цикл в триангуляции замкнутого 2-многообразия гомологичен нулю тогда и только тогда, когда он не разбивает 2-многообразия), 6b, 7ab (7b верно только для локально евклидовых гиперграфов) из п. 6.3 (решайте для триангуляций, а не для клеточных разбиений) и 6.1.2b и по cyclesg-jour.pdf: 1.4b и 1abc, 2a, 3ab, 4 из \S3.
    Для АМ по cyclesg-jour.pdf: 1.2d, 2.1ab*c*, 2.2abc*, 4.1abc (mod т. Кюннета 3.7), 4.2*.
    К 20.09: 6.3.7b* (контрпример для не локального евклидовых гиперграфов), 6.3.8abc, 6.4.1abc, 6.4.2a, 6.4.3* и 1abc, 2, 3a*, 4ab, 5ab из п. 6.5 (решайте для триангуляций, а не для клеточных разбиений) и по cyclesg-jour.pdf, \S3: 6.a1,a2,b, 8, 7.a1,a2,b.
    Для АМ по cyclesg-jour.pdf: то же, что к 13.09, плюс 4.3a-f,a'-f'.
    К 27.09: 5.9.1ac (по эл. версии), 6.5.3ab, 6.5.6a, 6.7.1a' (пересечение ребра \sigma и ребра \tau^*, двойственного к ребру \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 6.7.1abc и по cyclesg-jour.pdf: прочитайте решения задач 1.1 и 1.4, решите 1.1.f, 3.8, 5.1abcdeg, 7.1.
    Для АМ по cyclesg-jour.pdf: то же, что к 20.09, плюс 8.1abc, 8.2.abcd.
    К 4.10: 1d(определите <<естественные>> отображения $f$ и $f^*$), 2abc, 2d (форма пересечений симметрична), 3a(достаточно нестрогих рассуждений)b*, 4, 5abcd*ef, 6 (используйте без доказательства утверждение 6.7.5d для других утверждений) из п. 6.7 и 2.2.5d*, 5.9.1b*d* (по эл. версии), 6.6.2, 6.6.1b* (достаточно нестрогих рассуждений) и по cyclesg-jour.pdf: 5.1.f*, 5.3ab*c*d*, 5.4ab, 7.2ab, 7.3ab, 7.4, 7.5ab, 7.6a*b*
    Для АМ по cyclesg-jour.pdf: то же, что к 27.09, плюс 4.4a-g.
    К 11.10: 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали), 3(равносильность), 6abcde, 7abc из п. 8.1.
    К 18.10: 2(3.7.2d), 7cde, 5ab, 4*, 6f* из п. 8.1 и 1abcd, 2, 3abcde, 4, 5abc, 6acd из п. 8.2. Утверждением 8.2.6b можно пользоваться в других задачах без доказательства.
    К 25.10: 2(3.7.2d), 3(доказательство), 5b, 4* из п. 8.1 и 2*, 5b, 6abcdef, 7, 8 из п. 8.2 и 8.3.2ab*, 4.5.2c, 4.6.3i, 4.7.1abcdei, 8.4.1abc, 8.4.2 (4.5.1abcdf, 4.5.2a; напишите номера задач, аналоги которых сделали). Утверждением 8.2.6b можно пользоваться в других задачах без доказательства.
    Кo 2.11: 8.2.6b, 4.5.1f, 4.5.2b (см. определение в конце п. 2.1), 4.5.3*, 4.7.2 (предполагая корректность) и 1abc, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 4.6.1 и 1de (см. определение сферы с ручками в п. 2.1), 2(4.5.3*, 4.6.1), 3a(гомеоморфность)*(подмногообразие) из п. 8.4 и 8.6.1ab, 8.6.2ab. Теоремой 8.3.1a можно пользоваться в других задачах без доказательства.
    К необязательной консультации 4.11 (ориентировочно 13.55-14.10 разбор базовых задач, 14.10-14.25 разбор основных задач, 14.25-14.40 разбор сложных задач, 14.40-15.10 новый материал):
    К 9.11: 8.2.6b, 4.5.2b (см. определение в конце п. 2.1), 4.8.2c, 8.4.1d (см. определение сферы с ручками в п. 2.1), 8.4.3ab*c*(подмногообразие), 8.4.4c, 8.6.1bcdc'd', 8.6.2cdef* и 2, 1ab, 3ac из п. 8.5 и 1ab, 2a, 3abc (по эл. версии) из п. 8.7. Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства. И посмотрите мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых), мультфильм-1 (для детей), мультфильм-2 (для детей).
    К 16.11: 4.5.2b, 8.4.4c, 8.5.3ac и 1b, 2ab, 3abc (по эл. версии), 4a, 5a, 6a*, 7ab из п. 8.7 и 1, 2ab*, 3ab, 4, 5, 6ab* из п. 9.4 и 9.3.1a, 9.1.1a, 9.1.2ab, 9.2.2abcdef (deg f четно). Можно пользоваться без доказательства результатами задач 8.7.6abc и эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
    К зачету 21.12:


    Алгебраическая топология многообразий в интересных результатах

    Курс проходит по пятницам с 8 сентября, 17:30-19.20, ауд.304 НМУ-МЦНМО. Заранее отмечайте в гуглшите решенные задачи к каждому занятию. Ссылку на гуглшит попросите по skopenko@mccme.ru.
    Аннотация и программа. Для изучения курса достаточно знакомства с основами алгебраической топологии многообразий --- например, в объеме глав 2-6, 8 и пунктов 10.2-10.6 книги [S20]. Литература: [S20, \S\S 9-12, 16].
    О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте эту важную информацию к 8-15.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Успехи студентов.

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной или бумажной 2020 года версии книги [S20]. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. В заданиях используйте без доказательства следующий факт и его обобщения на многообразия с краем и Z-коэффициенты: if N is a closed smooth n-manifold, P and Q are its closed smooth p- and q- submanifolds, intersecting transversely, then [P]\cap[Q] = [P\cap Q] \in H_{p+q-n}(N;Z_2)). )
    К 8.09: 11.9.2abc*de, 11.9.3abcd*, 11.4.1ab, 11.4.2ab.
    К 15.09: прочитайте п. 10.2; 10.3.1a, 10.3.3abc (mod 10.1.7), 10.4.0b (дайте строгое определение клеточного разбиения, двойственного к триангуляции; подсказка: используйте барицентрическое подразбиение), 10.4.2bd(только для двойственного)*c*, 10.7.0 (пересечение k-симплекса \sigma и клетки \tau^*, двойственной к k-симплексу \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 10.7.1abcd, 11.9.2bc*de, 11.9.3bcde*.
    К 22.09: 10.4.2bd(только для двойственного)c, 10.7.1bcd, 10.7.2ab, 10.8.1ab, 10.8.2ab, 11.4.1ab, 11.4.2a, 11.9.3e* (mod 11.2.3) и 1, 3 (подсказка), 2(своб.части)(кручения)* 6(унимод)* из п. 10.9.
    К 29.09: 10.4.0a (дайте строгое определение граней барицентрического подразбиения, ср. п. 5.5), 6.2.3d, 10.4.0b (дайте строгое определение клеточного разбиения, двойственного к триангуляции; подсказка: используйте барицентрическое подразбиение), 10.4.2d(только для двойственного)c, 10.4.3a, 10.7.2a' (формула Лейбница; подсказка: для граней a\supset b триангуляции опишите грани барицентрического подразбиения, из которых сосотоит a\cap b*), 10.7.2ab, 10.7.3a, 11.2.2a, 11.9.4, 11.9.5a и 3 (подсказка), 2(своб.части)(кручения)*, 5ab*, 6(унимод)* из п. 10.9.
    К 6.10: 10.4.3bcd, 10.9.6(невыр)*, 11.2.3a(своб.части), 11.2.3b(унимод)* и 5bcde*, 6abcc'de, 7, 1a (негомеоморфность S^3 mod 11.4.6a), 8abc из п. 11.9 (все mod 11.2.3 и 14.5.7b).
    К 13.10: 11.4.2c*, 11.9.1a*, 11.9.1b, 11.9.9* (все mod 11.2.3, 11.4.2c, 11.4.6ab и 14.5.7b)
    К 3.11: 10.7.2c*d*, 10.7.3b*, 11.2.2b*c*, 11.4.2b, и по cyclesg-jour.pdf, \S3


    Гомотопическая топология и ее приложения

    Курс ориентирован на магистрантов ФИВТ МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Занятия по субботам со 2.09 (90 минут, начиная с 12.00 или с 13.00). Ссылка для дистанционного участия в занятии предоставляется тем, кто заранее отметил в гуглшите решенные задачи к этому занятию. Ссылку на гуглшит попросите по skopenko@mccme.ru.
    Аннотация и программа. Для изучения курса достаточно владеть материалом [S20, \S\S 3, 8.1-8.3, 8.7, 14.1-14.3]. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 5-10.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Литература: [S20, \S\S 8, 14, 15], \S3.

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной или бумажной 2020 года версии книги [S20]. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами.)
    Ко 2.09: 1abc*, 2abde*, 3ab из п. 14.4 в бум. версии [S20] и Definition 2.2 (check that \zeta is well-defined), Remark 3.2 a(well-defined)b по атласу.
    К 9.09: 8.3.2e, 8.8.2d, 14.4.1d, 14.4.2c, 14.4.3cd, 14.6.2 из бум. версии [S20] (подсказка: [DNF, ч.2, \S23.1]) и Definition 2.2 (check that \zeta is a homomorphism), Theorem 4.1 (инъективность для p=q и PL случая; используйте теорему о незаузленности сфер, теорему о конкордантности и изотопии, и лемму о поглощении) по атласу.
    К 16.09: 8.3.2e, 8.8.2d, 14.4.2c, 14.6.2 из бум. версии [S20] (подсказка: [DNF, ч.2, \S23.1]) и Definition 2.2 (check that \zeta is a homomorphism), Remark 3.2cd, Theorem 4.1 (инъективность для PL случая; используйте то же) по атласу и Theorem 2.6c for closed manifolds and 2m>3n+2 (mod леммы о поглощении).
    К 24.09: 14.5.7ab, 14.6.3abc, 14.6.1-1, 14.6.4ab(сюръективность)c из бум. версии [S20] (подсказка: [DNF, ч.2, \S23.2,3]) и Definition 2.2 (check that \zeta is a homomorphism), Remark 3.2a(homomorphism) по атласу и Theorem 2.6c for closed manifolds (mod леммы о поглощении).
    К 28.09: 0 (\Phi не гомоморфизм), 1, 2, 3*, 4*(построить оснащение Понтрягина) по [DNF, ч.2, \S23.4] (см. текст) и 8.8.3ab, 14.5.3e, 14.5.9bcdefg, 14.5.10ab, 14.6.4b(инъективность)de из бум. версии [S20] и Lemma 3.4 по атласу.
    К 5.10:

    Через гомотопическую топологию к сверхтекучести. Мастер-класс (осень 2018), ориентированный на студентов ФОПФ. Литература: [S, параграф 4] и [S20, параграф 8.7] и [MM95, RSS05] из [S20].


    Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов-1,2

    Весной 2023 я исполняю часть 1. Для МФТИ - по средам c 1.02, 15:30-18:30 в УЛК-2 N 425. Для НМУ - по пятницам c 10.02, 17.30-19.10. Студенты, справляющиеся с домашними заданиями, получают возможность участвовать в курсе для НМУ дистанционно: Meeting ID: 885 2124 3139 (hypergraphs), Passcode: 443414. Необязательные консультации и досдача задач: для МФТИ - по средам, 12.30-13.40 (диванчики или столовая на 2 этаже КПМ) или после занятия; для НМУ - по пятницам перед занятием; сообщите заранее, если планируете прийти. Аннотация и программа части 1. Курсы ориентированы на студентов НМУ и МФТИ, но их могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Каждое домашнее задание, кроме первого, состоит из материала предыдущей лекции. Оно разбирается в начале того занятия, к которому задано. Каждая следующая лекция рассчитана на тех, кто разобрался с материалом предыдущих. О занятиях и экзамене/зачете. Успехи студентов МФТИ. Успехи студентов НМУ.
    Литература: [KRR, параграфы 1, 2], [S, параграфы 1, 2, 5, 7.2], [S14, S18]. Примеры красивых теорем, которые изучаются в части 1: 1.2 и 1.5 из [S14] и 1.2.2, 1.4.1, 5.4.2, 5.5.3, п. 5.6, 5.7.3, 5.9.2, 5.9.3 из [S].

    Домашние задания по части 1 для МФТИ (Если источник не указан, то задание по книге [S]. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов! Окончательны только задания с жирными датами.)
    К 1.02: 1.1.1b, 1.1.2, 1.1.3*, 1.7.1ab*, 1.3.2b, 1.3.4ab* из [S] и 2.4ab из [S14].
    К 8.02: 1.1.3*, 1.3.5ab, 1.4.2ab, 4.6.1a, 4.6.2, 4.9.4abc и по [S14]: 1.2, 2.8, 1.5, 2.9*.
    К 15.02: 4.9.4c, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4a* и 1 (используйте без доказательства утверждение 1.4.4b и теорему Куратовского 1.2.3e), 2, 3ab, 4ab, 5ab, 7 (используйте без доказательства лемму 6), 8 из п. 1.5.
    К 22.02: 1.4.4a*b и 1 (используйте без доказательства теорему Куратовского 1.2.3e), 4b, 5ab, 6, 7, 8 из п. 1.5 и 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.1ab, 2.2.3, 2.2.2ab и [S20, 3.6.2] и по [KRR]: 1.5abcd, 1.8abcde.
    К 1.03: 1.9be, 2.3ab, 2.5a, 2.7a из [KRR] и [S20, 3.6.2] и 2.2.2b, 1.4.4b и 1 (используйте без доказательства теорему Куратовского 1.2.3e), 6, 7, 8 из п. 1.5 и 1.2.3с (полиномиальность) и 1a*b, 2abc, 3(3)(12)(22)*(31)* из п. 5.1 (для объяснения реализуемости нужен рисунок, а не доказательство; для обратного - эвристика), 5.2.1abcd, 5.2.3.
    К 15.03: 2.2.2b, 1.2.3с (полиномиальность), 5.1.2abc, 5.2.1bdef, 5.2.3, 5.2.4, прочитайте п. 5.3, 5.4.1abc,e-i,j*, 5.4.2, 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.3ab (используйте без доказательства теорему классификации), 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 5.5.1 и 5.5.5), прочитайте п. 5.6 и по [KRR]: 2.5a, 2.7a, 3.5(3)*(3')*.
    К 22.03: 5.2.2ab, 5.2.1f, 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.3ab (используйте без доказательства теорему классификации), 5.14.3a, 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 5.5.1 и 5.5.5) и по [S20], по бум. версии: 8.1.6abcdef, 8.1.7abcde; по эл. версии: 8.1.7a и 1abc (в задаче 8.1.6abc бум. версии), 2, 5abcde (в задаче 8.1.6abcde бум. версии), 8abcde (используя корректность) из п. 8.3.
    К 29.03: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.3b, 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2) и по эл. версии [S20]: 3.7.2bc, 8.1.5cba (используя 8.3.7d и 8.3.8f без доказательства), 8.1.4 и 5e (в задаче 8.1.6e бум. версии) 6, 3, 7abc, 4, 7d, 8cdef из п. 8.3.
    К 5.04: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.13.1 и по эл. версии [S20]: 6bcd, 3, 7abc, 4, 7d, 8f из п. 8.3.
    К 12.04: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.4b (для k=2), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.13.1, 5.13.2ab, 5.13.4abcd и 1abc, 2ab, 3b, 5abc, 6ac из п. 5.14.
    К 19.04: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.1*, 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 5.5.1 и 5.5.5), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.6b, 5.14.4abcde, 4.8.1a, 4.8.1b (только 1<=>1'), 4.8.2a, 5.8.5a.
    К 26.04: 5.7.1, 5.7.4c (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bcde, 4.8.2a* и 5bcd, 4, 6 из п. 5.8 для k=2, 1.5.9abc, 1.5.10, дочитайте п. 1.5.4.
    К 3.05: 5.7.1, 5.7.4c (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bcde и 5d, 4, 6, 7, 2 из п. 5.8 для k=2, 1.5.10, 5.9.1abc, прочитайте п. 5.9, 7.1.1ab*, 7.1.2abc, 7.1.3abc*.
    К 10.05: 5.7.3, 6.2.2, 5.8.4 (для k=2), 5.8.6 (для k=2), 7.1.2bc, 7.1.3ab, 1.6.4abcd, 7.2.1ab, 7.2.2abcd, дочитайте п. 7.2. По [S22]: 4.1.3.
    К дифф. зачету 17.05: 5.7.3, 6.2.2, 5.8.6 (для k=2), 5.8.7 (для k=2), 5.8.2 (для k=2), 5.9.1bc, 5.14.4de, 7.1.1b*, 7.1.3c*, 7.2.2bef*, 7.2.3a*. По [S22]: 4.1.3, 2.2a (используйте без доказательства 2.8.8c), 2.1a. Следующие задачи принимаются только у тех (и засчитываются только тем), кто сдал не менее 90% задач без звездочек из предыдущих; предыдущие или их можно сдать 24.05, договорившись о дистанционном занятии. По [S20]: 1.5.1, 2.6.5bI, 2.8.8c (используйте без доказательства теорему классификации) и 2, 3a (\Sigma(f) - объединение отрезков), 3b, 4ab, 5abc, 1 из п. 6.8.

    Домашние задания по части 1 для НМУ (Если источник не указан, то задание по книге [S]. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов! Окончательны только задания с жирными датами.)
    К 10.02: 1.1.1b, 1.1.2, 1.1.3*, 1.3.2b из [S] и 2.4.ab, 1.2* из [S14].
    К 17.02: по [KRR]: 1.3, 1.8abcde, 1.9be и по [S14]: 1.2, 2.8, 1.5.
    К 25.02: 2.8 (без перебора), 1.5 из [S14] и 1.5abcd, 2.3abc, 2.4, 2.5ab, 2.6, 2.7ab из [KRR] и 1.3.5ab, 4.6.2, 4.9.4b.
    К 3.03: 2.3bc, 2.5a, 2.6, 2.7a, 3.7bcd, 3.8ab, QSD(4)* из [KRR] и 1.3.5ab, 4.6.2, 4.9.4bc, 1.4.2ab, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4a, 1.5.1 (используйте без доказательства утверждение 1.4.4b и теорему Куратовского 1.2.3e), 1.5.2, 1.5.3ab.
    К 10.03: 2.7a, 3.7d, 3.8b из [KRR] и 1.3.5b, 4.9.4bc, 1.4.1, 1.4.4ab и 4ab, 5ab, 7 (используйте без доказательства лемму 6), 8 из п. 1.5 и 2.2.1ab, 2.2.3.
    К 17.03: [KRR, 3.7d] и [S20, 3.6.2*] и 1.5.6, 1.5.7, 1.5.8, 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.3, 2.2.2ab*, 5.2.1abcd.
    К 24.03: [S20, 3.6.2] и 1.4.4b, 1.5.6, 1.5.7, 1.5.8, 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.2b и 1a*b, 2abc, 3(3)(12)(22)*(31)* из п. 5.1 (для объяснения реализуемости нужен рисунок, а не доказательство; для обратного - эвристика), 5.2.2ab, 5.2.1de, 5.2.3, 5.2.4, прочитайте п. 5.3, 5.4.1ab.
    К 31.03: [S20, 3.6.2], 1.5.6, 1.5.7, 1.5.8, 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.2b, 5.2.1c'*c''df, 5.2.4, 5.4.1cde*fghi, 5.4.2, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.5.3a (используйте без доказательства теорему классификации), 5.5.3b, 5.14.3a, прочитайте п. 5.6.
    К 7.04: 5.2.1f, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.5.3a (используйте без доказательства теорему классификации), 5.5.3b, 5.13.1, 5.14.3a, 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства теорему 5.5.5), 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4ab (для k=2), 5.7.5b.
    К 14.04: 5.2.1f, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 5.5.1 и 5.5.5), 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 5.7.5b, 5.13.2ab, 5.13.4abcd и 5.14.1abc.
    К 21.04: 5.2.1f, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2 и 2ab, 3b, 4de, 5abc из п. 5.14.
    К 28.04: 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bc, 5.14.6abc, 4.8.1a, 4.8.1b (только 1<=>1'), 4.8.2a, 5.8.5a.
    К 12-19.05 (только для АВ): 7.1.1a и по [S22]: 3.1ac, 4.1, 2.2a(if)(only if) (используйте без доказательства 2.8.8c), 2.1a, прочитайте \S2-\S4 (кроме стр.5).
    К 5-26.05: (то, где есть k, для k=2) 5.7.4c, 5.7.3, 6.2.2, 4.8.2a и 5abcd, 4, 6, 7, 2 из п. 5.8 и 7.1.2abc, 1.6.4abc, 7.2.1a, 7.2.2abc. Эти задачи принимаются 19.05 только у тех (и засчитываются только тем), кто сдал не менее 80% задач без звездочек по каждому из пропущенных занятий.
    К 26.05 или позже (только для АВ, после прорешивания задания к 5-26.05): 1.6.4d, 7.1.3abc*, 7.2.1b, 7.2.2def*, 7.2.3a*, дочитайте п. 7.2.
    26.05 (дистанционно): 17.30-18.00 консультация, 18.00-19.00 экзамен.

    Аннотация и программа части 2, 2021. Литература: [S, параграфы 4, 5, 6], [S16].
    Примеры красивых теорем, которые изучаются в части 2: 2.1.5, 2.2.2, 2.3.2 из [S]
    Домашние задания по части 2
    К 09: Lemma 2.
    К 09: 1ab*, 3ab, 4ab, 5ab, 6ab, 7ab, 8a из п. 4.6 и 4.8.4a, 4.9.1a, 4.9.2abcde, 4.9.3bc по [S].
    К 1.10: Classify smooth embeddings into R^5 of S^2\times D^1, (of punctured S^2\times S^1)*, (of the boundary connected sum of two copies of S^2\times D^1)*; use without proof that any two embeddings into R^5 of S^2 are isotopic.
    К 8.10: Examples 3.4ab, 3.1abc, 3.2*, 3.3* (use without proof Unknotting Spheres Theorem 2.3 and isotopy of embeddings S^k\times[0,1] coinciding on S^k\times0 and having homotopic normal vector fields to S^k\times0)).
    Лекционная часть занятия 8.10 (19.00-19.50) совмещена с докладом "Invariants of graph drawings in the plane" at "Selected Topics in Mathematics" online seminar.
    К 22.10: 1*, 3, 5 из п. 5.10 по статье.
    К 29.10: 4.6.8b*, 4.6.9ab*, 4.9.2c, 4.9.5a, 4.9.6ab и 1, 3, 5, 6, 2 из п. 5.10 и 9abc, 10, 11 из п. 1.5.
    К 5.11: 4.6.9ab*, 4.9.5a, 4.9.6ab, 5.11.1abc, 5.13.2a*b*, 5.13.3ad, 5.14.1a*bde.
    К 12.11: 4.9.6cd, 5.13.3b, 5.13.4ab и 1afg, 3ab, 2(=>), 4 из п. 5.14 и 4.11.4ab, 4.11.3* (M=T) и
    К 19.11: 4.4.6e, 5.11.4, 5.11.5ab, 5.13.4c, 5.12.7ab* (without `deformation').
    К 26.11: 4bc, 5ab, 6 из п. 5.13 и 5.11.3, 5.11.2b, 5.12.7ab, 5.12.8ab* (without `deformation'), 5.14.1g, 5.14.2(=>), 5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), [S20, 11.7.6b].
    К 3.12: 4bc, 5b, 6 из п. 5.13 и 5.11.2b, 5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), 5.12.7a*b*, 5.12.8ab*, 1.5.12, 5.11.5c, 5.13.5c, 4.9.1c, 4.9.6e и [S20, 11.7.6b] и по arXiv:math/0604045: Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d for m=n+2=3.
    К 10.12: 5.13.4bc, 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.1c, 4.9.6e и [S20, 11.7.6b] и 5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7). По arXiv:math/0604045: Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d* for m=n+2=3.
    К 17.12: 5.4.4, 5.7.1a, 5.13.4bc (hint: Remark 1.5.5.c), 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.6e, 5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7), 4.7.4h*, Remark 1.5.5.c, Lemma 2, Theorem 1.9 for k=r=2 (hint: Remark 3.1.c), Example 5.7.a for l=1. И теоремы Уитни о вложимости n-многообразий.
    К обсуждению 25.12: 1abcdef, 2abcd*, 3ab*c*d*e*, 4ab*c* из п. 5.15.

    Аннотация и программа части 1, 2017. Аннотация и программа части 1, 2015. Похожий на часть 1 спецкурс на матфаке ВШЭ, 2013.
    Аннотации и программы похожих на часть 1 курсов <<Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии>>, НМУ, осень 2018, и <<Топологическая гипотеза Тверберга: комбинаторика, алгебра и топология>>, НМУ, осень 2016.


    Топология гиперграфов и многообразий в интересных результатах

    Курс проходит дистанционно по воскресеньям c 5.02.2023, 14.30-16.00 (если не объявлено другое время). Курс ориентирован на студентов 4 курса и магистрантов МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Этот курс (мастер-класс) сочетает в себе научный семинар и спецкурс. Ссылка для дистанционного участия в занятии предоставляется тем, кто отметил в гуглшите решенные задачи к этому занятию.
    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете. Увертюра (ср. с [DS22]).

    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; если не получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.)
    Повторение. По bookeng.pdf: 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step.
    По `Элементам...' Прасолова: теорема Хопфа 18.9ab, 18.9c (Let f:B^{n+1}\to B^{n+1} be a map such that f(S^n)\subset S^n. Then \pm\deg(f|_{S^n}:S^n\to S^n) equals to the algebraic intersection in S^n\times S^n of the graph of f|_{S^n} and S^n\times*, to the sum \deg_c f of signs of f-preimages of a regular value c of f, and to the algebraic intersection in B^{n+1}\times B^{n+1} of the graph of f and B^{n+1}\times*).
    По parsa_join.pdf: доказательство теорем 1 и 3*, (сообщите замечания по всему тексту)*.
    По eliminat.pdf: сообщите замечания по \S1 (до замечания 1.5 включительно) и по \S3 (до теоремы 3.2 включительно); необходимость в теоремах 1.2, 1.3, 1.4; Remark 1.5b; достаточность в теореме 1.2 для d=n_1+n_2, d-2>n_1,n_2, ориентируемых N_1 и N_2 (можно пользоваться без доказательства тем же, чем в bookeng), 1.2a (under the assumptions of Theorem 1.2 for d=n_1+n_2, orientable N_1, N_2, and general position map f, the number fN_1\cdot fN_2 equals to \pm\deg_0F, where F:N_1\times N_2\to B^{n_1+n_2} is defined by F(x,y)=f(x)-f(y)), 1.2b (... and to (fN_1\times fN_2)\cdot\delta_2, for some orientation on \delta_2), 1.2c (... and to the degree of the map \t f:d(N_1\times N_2)\to S^{n_1+n_2-1}, for some orientation on S^{n_1+n_2-1}), 1.2d (if any of these numbers is zero, then the map \t f is null-homotopic), 1.2e* (for a connected n-manifold N a map dN\to S^{n-1} is null-homotopic if and only if it extends to N); теорема 3.1 для d=6, N_1=D^2 и N_2=D^3, теорема 3.1 для d=n_1+n_2+1, n_1,n_2>1, ориентируемых N_1 и N_2 (можно пользоваться без доказательства утверждением 1.2e*).
    По bookeng.pdf: прочитайте и сообщите замечания по \S1, \S4, \S5 (до теоремы 5.4 включительно), \S8 (до утверждения 8.4a включительно); 8.3, 8.4a (без незаузленности); (прочитайте \S7 без аппендиксов и сообщите замечания)*Timur, 8.4.bc (можно пользоваться без доказательства тем же, что в bookeng), 8.1 (existence of an almost embedding), 8.8a (obtain the condition only for disjoint \sigma,\tau), 8.10, 8.8b for d=0, 8.7 for d=0 (using 8.9).
    По [S20]: 10.8.1a, 10.8.2a, 10.8.1b, 10.8.2b, 10.9.1, 10.9.5ab, 10.9.2(свободные), 10.9.3, 11.2.2a, 11.2.3a(Z_2)(свободные) (по бум. версии; use without proof that any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$), из 11.6, 11.7 (по эл. версии).
    По [CS16]: 3.1*.
    По [S]: 4.6.6ab, 4.6.7ab, 4.6.9a, 4.6.10abc*, 4.6.10d (прочитайте), 4.6.9bcd*e*, 4.7.4abcdefg*h*, 4.9.6b*, 6.6.2abc, прочитайте и выскажите замечания по формулировкам: 6.6.3.abcd, 6.6.4abcd, 6.6.5ab; 6.6.6abc, 1.6.3ab, 1.6.5ab.
    По joinpowers: the `if' part of T 1.3 (using lemmas without proof), 2.1, 2.3 (using 2.5 without proof), 3.1ab, 2.2ab, 2.5a, 3.3*, 2.5b(l=1)b*.
    По alg-alm-emb: L3.
    Не разобранные темы, входящие в программу курса: По [S20]: 11.2.3a(свободные), 5.8.1acde. Any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$ (start with k=2; use primitive elements). По [S]: 6.6.6bc, 4.7.5a*, 1.6.3b, 1.6.5ei, 1.6.6acd*, 1.6.7abc. По bookeng: 2.2ab (PL, (b) for n=2, используйте без док-ва [RS, 3.27] и 1.1, подсказка), 4.5bdefcag. По [DS22]: 2.1, 1.10, 1.8, 1.9. Только следующие темы будут повторены в новом курсе: [S20, 8.10, 14.4], \S3.
    К новому курсу. По alg-alm-emb. [RS72, \S5; 5.6.ii, 5.8, 5.9] For every m construct an immersion a_m : R^m \to R^{2m} which is approximately linear outside the unit ball, and has a single double point (hint)

    Домашние задания осени 2022
    18-25.07: [KS21], по [KS21e]: 2.5.3, 2.5.4abcde (see definitions before Addendum 2.4.3), [DS22].
    К 8-15.08: Th 1.1ab* (=>), Th 1.4* (=>); C121a mod Th 123, L232, R251: E<=>EH, R252b*.
    К 22-28.08: 1.5.6, 5.8.5, 8.5.1abcdef, 8.4.2ab, 8.5.3.
    К 18.09.2022: по [S20]: 13.1.1abcd*e, 6.8.2, 6.8.3ab и по [RS72]: 5.2.1, 5.2.3, 5.4*. Hint to 13.1.1c: Define a map $p_1:D^2\times S^1\to D^2$ by $p_1(z,w)=zw$. Find a self-homeomorphism $h_1$ of $D^2\times S^1$ such that $\pr_1 h_1 = p_1$. Пересмотрите мультфильм про отображение Хопфа.
    К 24.09: 8.3.6cd, 8.5.2abcd, 8.3.4a и по [RS72, \S5]: 2.1, 2.3, 4* (без Addendum) и по [S20]: 6.8.3a, 13.1.1c, 10.6.1, 10.6.2ab, 10.6.3ab, 10.6.4ac.
    Ко 2.10: по [S20]: 10.6.4acd, 11.2.1abc (G=Z_2), 11.3.1abcd, 11.3.2abcd, 11.3.4ab (далее используйте 11.3.3 без док-ва) и по [S]: 5.14.4c, 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
    К 9.10: по [S20]: 6.8.4ab, 11.2.1cd (G=Z_2), 11.3.2d, 11.3.3 и по [S]: 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
    К 16.10: по [S20]: 11.2.1c (G=Z_2) и по [RS72]: 5.4, 5.4.Addendum*, 5.5 ( сильная теорема Уитни о вложении для PL случая; используйте 3.27 без док-ва).
    К 23.10: [RS72, 5.4, 5.4.Addendum*Emil], [S, 8.3.4f*Timur], [Sk06, Lemma 4.3].
    К 30.10: [RS72, 5.4.Addendum for M=R^m], [Sk06, Lemmas 4.2 and 4.3], [S, 5.9.2a], [S20, 6.8.3b, 6.8.4ab], [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
    К 6.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood). [S20, 6.8.5abcd, 6.8.6, 9.8.7abc, 9.9.2a для k=2 и j=0, j=1*]; далее используйте 9.9.2a без док-ва. From EmbedsE.pdf: L3 mod L4 for i=n-1, L3 mod L4. [S, 5.9.3, 5.9.2a] [Sk06, Lemma 4.2] (используя [RS72, 5.12.1] без док-ва), [RS72, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava, [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
    К 13.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood). [S20, 6.8.5cd, 6.8.6*, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a]. По [S]: 4, 5ab, 3, 2a из п. 5.9 и 4.6.8ab*Emil. [Sk06, Lemma 4.2] (всюду используйте [RS72, 5.12.1] без док-ва), [RS72, 5.10, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava, [Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
    К 20.11:По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; use without proof the Local Disjunction Theorem 1.9, and `the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood'). [KS21e, Theorem 1.3.1a], (any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost embedding whose restriction to any simplex is an embedding), [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3], [S20, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a], [S, 4.6.8b*],
    К 27.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1; [KS21e, Theorem 1.3.1a], (any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost embedding whose restriction to any simplex is an embedding); [S, 4.4.7a]; [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1], Theorem 2.1.b mod Lemmas 3.1 and 3.2, Lemma 3.2 mod Lemma 3.3 for i=n-1, for i\le n-1, [RS72, 5.12.1 for p,q>2 mod lemmas]*Timur,
    К 4.12: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1; [S, 4.4.7a]; [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step],
    К 11-18.12 и к повторению в январе 2023: [S, 4.4.7a], [Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step, 8.3], [S20, 14.6.4 a (только корректность) b (только эпиморфность; подсказка: Фоменко-Фукс, п. 10.1)], Theorem 2.2.b*Timur, 5*Emil.
    [Hu69] J. F. P. Hudson, Piecewise-Linear Topology, Benjamin, New York, Amsterdam, 1969.
    [HH63] A. Haefliger and M. W. Hirsch, On existence and classification of differential embeddings, Topology 2 (1963), 129--135.
    [RS72] C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to Piecewise-Linear Topology, Springer, 1972. (К. П. Рурк и Б. Дж. Сандерсон, Введение в кусочно-линейную топологию, Москва. Мир. 1974.)
    [RS99] D. Repovs and A. B. Skopenkov. New results on embeddings of polyhedra and manifolds into Euclidean spaces, Russ. Math. Surv. 54:6 (1999), 1149--1196.
    [Sk16c] Embeddings in Euclidean space: an introduction to their classification.

    Примеры красивых теорем, которые изучались ранее: [S20, пункты 9.1, 11.1, 12.1, 16.1]. John Milnor: Spheres. По [S20]: 5ab, 6, 7ab, 9abcdef из п. 14.5 и 4a, 5b*, 6, 7abce, 8c из п. 15.1 и 1, 2 (эвристика), 3a (разберите доказательство), 5ab, 4 из п. 15.2 и 1ab, 2a, 3, 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 5, 7ab, 4, 2 (разберите доказательства) и 2d, 3ab из п. 9.4 и 9.5.1 (подсказки: п. 9.6, 9.7) и 1abcdfg, 2abcd, 3abcdfg, 6a, 7abc, 8abcd* из п. 9.8 и 2ab, 3, 4, 1, 5ab*, 6a из п. 9.9 и 2.1, 3.1, 2.2a, 4.1, 2.2b, 2.3ab (без вложений), 2.2c, 5.1a из \S12.
    Unknotting Theorem 2.4 Докажите (для PL случая) the Penrose-Whitehead-Zeeman Theorem 6.1; сформулируйте свойства регулярных окрестностей, используемые в доказательстве [RS99, \S8]; from now on use without proof [RS99, Engulfing Lemma 8.1]. [HH63, Theorem 3.1.a]. From now on: use the Smale-Hirsch theorem 15.3.6 without proof. Theorem 6.5 (подсказка: Lemma 2.2.W_0'). По атласу. [RS72, 7.12, 7.13, 7.14]

    НМУ, весна 2013: аннотация и программа (в окончательную программу вошли пункты 1,2,4,5,6), видеозаписи лекций.
    НМУ, осень 2013: аннотация и программа, видеозаписи лекций.
    НМУ, осень 2015: аннотация и программа.


    Введение в топологию для пользователя

    Курс ориентирован на студентов НМУ (начиная с 1 курса), но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Он проходит по пятницам с 9.09.2022, 17.30-19.10, ауд. 303 НМУ. Можно участвовать дистанционно: Meeting ID: 885 2124 3139 (hypergraphs), Passcode: 443414. Необязательные консультации и досдача задач: до или после занятия, желательно предупредить.

    Аннотация и программа. В окончательную программу вошли пункты 1-7 и 12, 13 предварительной программы. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 9-16.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Литература: [S20, параграфы 1-5], [S, параграфы 1, 4], [CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89]. Успехи студентов.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из [S20] и 1.2, 1.5 из [S14].

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке НМУ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.)
    К 9.09. 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из [S20]. Прочитайте первую фразу в п. 2.2. Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы про тор и Cutting a Moebius strip in half (and more). Попробуйте программу A polygonal line avoiding an obstacle.
    К 16.09. 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2c, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 (в 2.3.5с используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.4.1a, 1.4.1ca. Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1. Посмотрите мультфильмы про крендель и сферу с ручками.
    К 23.09. 3c, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3a, 4a из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a). Видео лекции.
    К 30.09. 2.3.1b и 6a, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 1c, 2abcd, 5, 6ab'b, 4 из п. 1.4.
    К 7.10. 1.4.2cd, 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2ab, 2.7.2ab.
    К 14.10. 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2b, 2.5.3a и 1a, 2bd, 3ab, 5 из п. 2.7.
    К 21.10. 1, 2abcd, 3aa'bc* из п. 1.5 и 1.6.1abd.
    Занятие 21.10 не обязательное. Оно состоялсь в 18.10-19.40 в виде доклада на научном семинаре лаборатории алгебраической топологии и приложений на ФКН ВШЭ: A quadratic estimation for the K\"uhnel conjecture (S. Dzhenzher and A. Skopenkov).
    К 28.10. 1fg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6.
    К 4.11. 1.5.2d и 1abdfg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6 и 1.1.2, 2.5.1e, 2.5.2b, 2.5.3a, 2.6.1bc, 2.6.2aba'b', 2.6.3aa', 2.7.2d.
    К 11.11. 1.1.2, 2.5.1e, 2.5.2b, 2.5.3a и 2ab, 3aa'b, 4abcd, 5(bE)a, 7ab, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc из п. 2.7.
    К 18.11. 3aa'b, 4cd, 5(bE)a(bI)*, 6*, 7ab, 8(bE)a(bI)* из п. 2.6 и 7c, 8bac*, 9bac* из п. 2.7 и 2.4.5, 4.6.3abc, 5.2.2, 5.2.3ab. Задачи со звездочкой принимаются только у того, кто сделал более 3/4 задач без звездочки к данному занятию.
    К 25.11. 1.5.3c и 5(bE)a, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc, 8ba, 9ba из п. 2.7 и 2.4.5, 4.6.3degi*, 5.3.2abc, 5.4.2ab, 5.2.3d.
    Ко 2.12. 2.8.1acd, 2.8.3a, 5.3.2bc, 5.4.2ab, 5.4.3ab, 5.4.1a-i, 5.4.4abc, 5.2.3d.
    К 9.12. 5.4.4de, 5.4.5, 5.5.1abc, (далее используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d), 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.7.1abcd, 5.7.2ab, 5.7.3a, 5.6.2 (для ориентируемых). Попробуйте программу Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
    К 16.12. (далее используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d) 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.6.2 (для ориентируемых), 5.7.1c, 5.7.3ac*, 2.8.5abcd*e* и по [S]: 1, 2, 3b, 4 из п. 4.1 и по [Sk14]: 2.4ab, 1.2, 2.8, 1.5.
    К необязательной консультации 21.12, 17.00: по [S]: 4.1.4 и 1ab, 2ab, 3b из п. 4.2 и по [Sk14]: 1.2, 2.8, 1.5, 2.9*. [S20u]: 1.1a, 1.3, 4.1, 4.2.
    Экзамен 30.12, 17.30-19.00. Общие критерии такие же, как в типичном пояснении к контрольной работе и в рекомендациях по письменным решениям для пользователя, см. также на стр. 2-3.


    От векторных полей к характеристическим классам

    Курс проходит по воскресеньям, 11.10-12.20. Курс ориентирован на студентов 3-4 курса и магистрантов МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Ссылка для дистанционного участия в занятии предоставляется тем, кто отметил в гуглшите решенные задачи к этому занятию.
    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [S20, параграфы 4, 6, 8, 9, 10, 14], [BE].
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: см. пункты 9.1, 11.1 и 12.1 из [S20].

    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S20]; бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами) (cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
    11-25.07: Some material from [S, \S8.1-8.4] including 1abc, 4abcd*, 5, 6abcd, 8ab from \S8.3.
    К 10.09: 8.10.1a, 8.12.1a, 8.12.2a, 8.1.7a*b* и (по бумажной версии) 9.1.1ab*, 9.1.2ab, 9.2.2c.
    К 18.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2cde, 9.3.1ab, 9.3.2ab* и 1, 2ab*c*d*, 4, 5, 3ab, 6ab* из п. 9.4 (указание: сделайте для триангуляций 6.2.3abc, 6.3.1bcd, 6.3.2ab, 6.3.3, 6.4.1ab). Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
    К 24.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2de, 9.3.1b, 9.3.2a, 9.4.3b и (трехмерный аналог задачи 6.1.2b)* и 2ac*, 3abc, 4ab, 5ab* из п. 9.7 и 10.4.1abcd.
    Ко 2.10: 9.3.1b, 9.7.4ab, 9.7.5ab*, 10.4.1def, 10.5.1abcd, 10.5.2 (аналог 6.5.4ab).
    К 9.10: 10.5.1ef, 10.5.2 (аналог 6.5.5a), 10.5.2g, 6.7.3b, 9.2.2f (deg f четно), 9.2.1 (эвристика) (строгое док-во)*, 9.7.1a, 9.7.5b, 9.1.6.
    К 16.10: 8.4.3c, 10.4.2abcd* (в остальных задачах испольуйте 10.4.2d без доказательства), 10.4.1f, 10.4.3abd, 10.5.1f, 9.2.2f (deg f четно), 9.2.1 (строгое док-во), 9.4.6ab*.
    К 30.10: 8.4.3c, 8.6.3bc, 10.4.1f, 10.4.3c, 10.6.8 (для dim K=2), 9.2.1, 9.5.1 (без невырожденности).
    К 6.11: 8.4.3c (подсказка), 10.6.8, 10.7.1abcd, 10.8.1ab, 9.5.1 (невырожденность), 9.1.3, 9.1.7c, 9.7.1b*, 9.7.6*.
    К 13.11: 10.8.1b, 9.1.7c, 9.7.1b*, 9.7.8ab*cd*, 9.8.1abcdefg (H_1 -> H_3).
    К 20.11: 9.7.8c, 9.8.1eg (H_1 -> H_3), 9.8.2abc.
    К 27.11: 9.8.1e, 9.8.2abcd, 9.8.3ab*cdef*g, 9.8.6a*-f*.
    К 4.12: 9.7.4a, 9.8.2bcd, 9.8.3abdef*g, 9.8.8ab*cd, 9.9.3, 9.9.1 (здесь и далее испольуйте 9.9.2b без доказательства).
    К 18.12: 8.6.3c, 9.8.3e' для ориентируемых, 9.8.3e', 9.8.8e, 9.9.3, 9.9.1, 9.9.4*, 9.9.5ab (далее испольуйте 9.9.5b без доказательства), 9.9.5cd, 9.9.6ad
    Для самостоятельного разбора: [S, \S8.5] и 7.1.2ab, 7.1.1ab*, 7.1.7abc, 7.1.7c, 7.2.2, 7.2.5.

    Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, НМУ, весна 2021. 3.4.6a, 3.11.1a, 4.1.1a, 4.2.2, 4.3.1a, 4.4.2ab, 8.9.1a* и 2ab, 4abc, 5ac*, 6b, 7a из п. 3.4 и 3.8.1abc и 1abcd, 2a'a''abb'ce, 3a из п. 3.9 и 1ab, 2abc, 3abc*d из п. 3.11 и 3.7.2ab, 4.2.3b, 4.4.2b и 3.7.2cd*, 3.3.1с, 3.4.5b, 3.10.2, 3.10.4(n=1), 3.11.2b, 3.11.3bce, 3.1.6a, 4.3.1bce, 4.3.2a, 4.1.2a и 3.11.3c, 4.3.2a, 4.1.2ab*, 4.4.1a и 1(c-i), 2abc, 3, 4 из п. 4.5 и 4.6.1, 4.6.3(a-g) и 1abcd, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали) из п. 8.1 и 4.6.2 и 3, 6(a-f), 7(a-e), 5ab из п. 8.1 и 8.2.1(a-d), 8.2.2 (начинайте решать предложенные задачи из параграфа 8 со случая n=2 - там, где он осмыслен) и 4.7.1(a-h),i*, 4.7.2 и 3(a-f)2*, 4, 5abc, 8 из п. 8.2 и 8.4.1abcd. и 5abc, 6abcdef, 7 из п. 8.2 и 2, 3abc*(p=3q=3), 4a из п. 8.4 и 8.6.1abcdc'd' (для достаточно мелкой триангуляции) и 8.6.2abcdef, 8.5.1ab, 8.5.2 и 8.3.2abcde, 8.3.1a и 1ab, 2ab, 3a, 4a, 7ab (используя корректность 8.7.6) из п. 8.7 (по электронной версии) и 8.8.1abcde, 8.8.2abcd и посмотрите мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых) и мультфильм-1 (для детей) мультфильм-2 (для детей). и 8.7.3bc, 8.7.4b (по электронной версии), 8.8.2abcd и 4.9.1abc, 4.9.2 и 1abcd, 2, 3a (для m>4), 4ab из п. 4.10 и 8.5.3abc, 8.6.4a (для m=5,n=3), 8.6.5a, 9.8.7a и 8.6.3abc*, 8.7.6a, 8.8.2abcd, 8.8.3ab, 9.8.7bc.
    4.4.6abc*, 4.4.7a, 5.12.1abcd* и Remark 2a, 1st paragraph и прочитайте стр. 30-31 и 37.
    If $A\subset X$ is a strong deformation retract of $X$, then for any $Z\subset\R^d$ the restriction induces a 1--1 correspondence $[X,Z]\to[A,Z]$.

    Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, 2019. Аннотации и программы похожих курсов <<Теория гомологий для пользователя>>, НМУ и МФТИ, весна 2018, и <<Топологическая теория векторных полей на многообразиях>>, НМУ, весна 2016.


    Введение в топологическую комбинаторику

    Курс для МФТИ проходит по вторникам с 1.02.2022, 15:30-18:30 в 530 ГК. Для дистанционного участия: Meeting ID: 885 2124 3139 (hypergraphs), Passcode: 443414.
    Курс для НМУ завершен 6.04; разобраны п. 1-3 и 7 программы, а также материал доклада "Invariants of graph drawings in the plane" на семинаре "Динамические системы" на матфаке ВШЭ.
    Курсы могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Каждое домашнее задание, кроме первого, состоит из материала предыдущей лекции (см. примеры ниже). Оно кратко разбирается в начале того занятия, к которому задано. Каждая следующая лекция рассчитана на тех, кто разобрался с материалом предыдущих.
    Достаточные предварительные умения: классифицировать с точностью до гомотопии непрерывные отображения окружности в себя (см., например, [S20, \S3]; нужно именно классифицировать, а не выводить классификацию из теорем, доказательств которых Вы не знаете).
    Аннотация, программа и литература курса для МФТИ. Аннотация, программа и литература курса для НМУ. О занятиях и экзамене/зачете. Основная литература: [S, параграфы 2, 5, 6, 8], [S20, пункты 3.2, 8.2, 14.1-14.3], [S18, параграф 2].

    Домашние задания для МФТИ (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
    К 1.02: 2.1.4ab, 2.2.1a, 2.2.2a, 2.2.3, 7.1.3a и по [S20]: 3.1.4b и посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике.
    К 8.02: 2.1.3abd, 2.1.5 (mod Barany CCT), 2.1.6*, 2.2.1b, 2.2.2b, 2.3.1abcd, 6.1.1, 6.1.3 (mod Barany CCT), (5.8.4 или аналог для числа Радона), 6.1.2, (6.2.1 или 6.2.3 при помощи чисел ван Кампена или Радона), 7.1.1ab*, 7.1.2ab, 7.1.3bc*, (6.2.1 при помощи теоремы Борсука-Улама 5.9.1, которую можно использовать без доказательства), 5.9.1 (d=2).
    К 15.02: прочитайте п. 6.1-6.3 и 6.3.7a, 6.4.1abc*, 6.4.2(r=6), 7.1.1b* (для дерева K), 5.9.4abcdef, 5.9.3(равносильность), 5.9.1, 5.3.1, 5.3.2ab, 7.2.2abcd.
    К 22.02: 5.5.1ab и 1ab, 6, 7abcd, 8abc* из п. 7.2 и 1, 2(1)-(5), 3ac из п. 7.3 и 7.4.1abc.
    К 1.03: (6.3.2b mod 7.3.5 и 7.3.6), 7.2.7ce*, 7.4.1de, 7.4.2, 6.3.2a (для r простого). По [S20]: 3.2.4ab, 9.2.2ace.
    К 15.03: (6.3.2b mod 7.3.5 и 7.3.6), 7.4.1dee', 7.4.2, 6.3.2a (для r простого) и [KS21, Remark 1.3.C] и по [KS21e]: Corollary 1.2.1a (mod 1.2.3 and 2.3.2), Lemma 2.3.2 for M = R^{2k}*, Corollary 1.2.2 (mod 1.2.3 and 1.2.4a), Corollary 1.3.2ab (mod 1.3.1a, 1.3.4 and 2.1.7), Lemma 2.1.7*, Corollary 1.3.3b (mod Theorem 1.3.4) и по bipartite.pdf: Lemma 2ab*, Lemma 3ab (mod Lemma 2b*), Theorem 1 (mod Lemmas 3ab and 4) и по [S20]: 3.2.4b, 9.2.2cef и 1, 2ab из п. 14.1.
    К 22.03: по [S20]: 3.2.4b, 10.1.2a, 15.6.4a*bcde, 14.4.2abc*de. Корректностью определения инварианта Хопфа ([S20, 8.7.6]) и его инъективностью ([S20, 8.7.8g, 8.8.2c) можно пользоваться без доказательства в задачах этого и следующих заданий. Если не получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.
    К 29.03: по [S20e]: 1.6, 1.7, 1.9aa'*bb'*, 1.8ab, 1.2, 1.1 и по [S20]: 3.2.4cdefg, 3.2.5ab, 3.10.3abc и 2cdef*g, 3, 4, 5, 6abcd из п. 14.1.
    К 5.04: по [S20e]: линейность* и суперкоммутативность* произведения Уайтхеда, 1.6 для l четного (используя линейность без док-ва), 1.9b и по [S20]: 3.2.4efg, 3.2.5ab, 3.11.3abcde, 14.1.6cd, 14.1.2i (используйте пояснение и без доказательства 14.3.2), 14.3.2 (образующие), 14.3.1 (используя без доказательства 14.3.2), 14.1.7c, 14.4.1ab и по [S]: 9.1.1 (прочитайте), 9.1.2abc.
    К 12.04: по [S20]: 14.1.6cd, 14.3.2 (образующие), 14.1.2i и 14.3.1 (используя без доказательства 14.3.2), 14.1.7c, 14.4.1ab и по [S]: 9.1.3a*b*, 9.2.1ab, 9.2.2 (прочитайте), 9.2.3ab и 1abcdefghi, 2abc*, 3ac(необходимость)*c*, 5a, 4a из п. 9.4.
    К 19.04: 9.2.1b, 9.4.5ab, 9.4.4ab и 1abcd*, 2ab, 3ba из п. 9.5 и по [S20]: 14.1.7c, 9.4.6ab, 10.4.2aa,ab,ac,b.
    К 26.04: по [S20]: 9.4.6b, 10.4.2c и 2(аналоги 6.5.4ab и 6.5.5ab)g, 3abcd, 6(6.5.1-6.5.3), 7ab, 8* из п. 10.5 и 14.9.1 a(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) b(реализация класса), 14.9.2a (для PL 3-многообразий и отображений; под $S^1$ понимается $S^1_{PL}$; значение PL отображения называется {\it регулярным}, если оно не совпадает с образом ни одной вершины некоторой триангуляции, для которой отображение симплициально) и по [S]: 9.4.6a(необходимость) и 2a, 4, 5* и 6* (для замкнутых PL 3-многообразий) из п. 9.5.
    К 3.05: 9.4.6a(необходимость), 9.5.2a и 1ba, 2, 3ab, 4 из п. 9.6 и 9.8.1b(n=2)c(n=2) и по [S20]: 10.5.2efg, 10.5.7c*, 14.9.1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) a(реализация гомологичности для n=3)* c(n>3), 14.9.2a(n=3)d(n=3)*, 14.9.3a(корректность для n=3).
    К консультации 10.05: 9.6.4, 9.8.1b(n=2)c(n=2), 9.8.2b(n=3)c(n=3) и по [S20]: 14.9.1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) a(реализация гомологичности для n=3)* c(n>3), 14.9.2a(n=3)d(n=3)*, 14.9.3a(корректность для n=3).
    К дифф. зачету 17.05 (15.30-17.20): РДП (или тексты по исследовательским задачам) и 9.8.2b(n=3)c(n=3), 9.8.3 и по [S20]: 3abc (по эл. версии), 5ab, 6a*b*c* (далее 6abc можно использовать без док-ва), 7ab, 4b, 8abcdefg, 3b (по бум. версии) из п. 8.7 и 14.5.1ab, 14.5.5ab (подсказка: определение локально-тривиального расслоения в конце п. 13.1) и 1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) c(n>3), 2 a(n=3) d(реализация класса)*, 3 a(корректность для n=3) b(реализация класса для n=4)*c* из п. 14.9.
    Для самостоятельной работы (этот материал входил в курсы прошлых лет): по [S20]: 14.7.1ab, 14.9.4a(корректность для n=4)*b(реализация класса)*с* и 1abcde, 2abc, 3a*b* из п. 8.8.

    Гомотопическая топология с алгоритмической точки зрения (весна 2020). Аннотация, программа и литература.
    Вводные задачи: 2, 3, 4b, 5c, 6ab из п. 3.1 и 3.10.2, 3.10.3с, 4.3.3b*, 4.4.2ab*, 8.6.2ab* по [S20] и посмотрите мультфильм о расслоении Хопфа.) Далее - то же, что по курсу <<Введение в топологическую комбинаторику>> с 9.03, по [S]: пп. 5.9, 5.11, 5.12 и по [S20]:
    (3.2.3a с доказательством)*, (4.2.4a для заузленных окружностей)* и 10.1.3, 10.1.7*, 14.3.3ab* и прочитайте п. 10.2 и 10.3.1.ab, 10.3.5 и 13.4.2cd*, 13.4.3ab и 5ab, 6a-g, 7a-e из п. 8.1 и 8.2.4a*b*c*, 1a-h, 2a-g, 3, 5e*f*, 6, 7 из п. 8.2 и 8.3.1a*b, 14.9.1ac, 14.9.2a (для PL многообразий и отображений), 8.7.5a, 8.7.8abc*d*e*. Утверждениями 8.2.4c, 8.2.5ef, 8.3.1a можно пользоваться в других задачах этого и следующего заданий без доказательства. И 8.3.1a*b, 8.7.8f*g*, 8.7.4b*, прочитайте п. 13.1, 13.1.1abc, 13.2.1f, 13.4.1 и 13.4.2b (с заменой векторных расслоений на I-расслоения), 13.2.3a*b*, 13.4.2c, 13.4.3ab. 13.4.4a (первая фраза), 13.3.1a*b*, 13.4.4b*c*, 4.1.6.b*, 4.9.2b*, леммы 6* и 7*; F определен на стр. 8.


    Классификация зацеплений

    Аннотация и программа: 2019, 2017. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [P, S, S14, S20], High codimension links.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.3 и 1.2.2 из [S20u], 1.1 из [S14], 4.2.6a, 4.3.3, 4.4.1, 4.9.3 из [S], \S4, \S5, \S8. Linking spheres.
    Участники курса могут сдавать полукурс `Зацепления в трехмерном пространстве' с 1/2 кредита. Программа полукурса: п. 1-5 программы курса (кроме числа Сато-Левина и многомерных оснащенных зацеплений); задачи к 11.09-30.10. Отдельный экзамен по этому полукурсу будет проведен в ноябре. Отдельный экзамен по второй половине курса будет проведен в декабре (и в январе-феврале 2020).
    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
    К 11.09.2019: 1, 2, 3ab, 4, 5*, 6b (используя 6a), 7ab, 8a*b, 9*, 10a* из п. 4.1.
    К 18.09: 1.2, 2.4a из [S14] и 1abc, 2, 3ab*c, 4ab, 5abc*, 6ab из п. 4.2.
    К 25.09: 4.2.5a, 4.2.6b и 1, 2abcde, 3, 4ab, 6a*b из п. 4.3 и 2.4b из [S14].
    Ко 2.10: 1.1 из [S14] и 1abcd, 2abcd, 3ab* из п. 3.2 (в 3ab примеры без доказательств) в [S20, п. 3.2] и 4.3.6a*, 4.4.1ab* (в 4.4.1ab примеры без доказательств), 4.5.1a, 4.5.2.
    К 9.10: 3ab, 4ab, 5a, 1b из п. 4.5 и 4.3.7a*b*.
    К 16.10: 5b, 6ab, 7ab, 8ab из п. 4.5 и 4.4.1b*c, 4.4.2a*b*.
    К 23.10: 1.1 из [S14] и 1, 2abcd, 3a*b*c*d*, 4abcdefg из п. 4.6 и 4.3.6a, 4.4.1d*, 4.4.2ab*.
    К 30.10: 1b, 2bcd, 3abcde, 4, 5abc из п. 4.7 и 4.4.2c*, 4.5.9a*b*.
    К 6-13, 27.11: 7abcde, 8abc, 3ab, 4ab*, 6ab* (предполагая корректность) из п. 8.5 в [S20] и посмотрите мультфильм про отображение Хопфа и 1ab(1'22'3), 2ab*c*, 3ab из п. 4.8 и 4.9.1abcd, 4.9.2abcdef.
    К 20.11: п. 1-5 и 10 из [S20u].
    К 27.11-18.12: Lemma 2, Theorem 1* from [S18] и прочитайте п. 1,2,3*,4*, докажите сформулированные в п. 2 утверждения: the Hopf link is not isotopic to the standard embedding; \zeta is well-defined; (\zeta is a homomorphism)* из атласа (определения встречающихся там новых для Вас объектов можно найти по ссылкам на том же сайте) и 1.3.6, 4.5.9ab, 4.9.3a*, 4.9.4ab* и 5aa'*b*c*d*, 6a*e, 9a*b*ceg (aceg - предполагая b) из п. 4.10. Можно решать задачи на меньшем уровне строгости, как в [S20u].
    К 10.1.2020: 9fh, 3, 4ab, 1ab из п. 4.10 и из атласа: (докажите замечание 3.2a*c*d*) и готовьтесь к контрольной работе на всю пару, прорешивая задачи.
    Дополнительный материал для изучения после сдачи экзамена (последние два годны также на `отлично' автоматом):
    Whitney embedding theorem (см. идею док-ва в русской версии). QUICKLY UNKNOTTING TOPOLOGICAL SPHERES. Простое доказательство теоремы классификации зацеплений.

    Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

    Обновляемая версия части книги, выложенная с разрешения издательства.
    Фотографии И. Решетникова, И. Федорова и других с занятий в 2013-2014.
    Осторожно, опечатки в фотографиях не исправляются - в отличие от опечаток в книге. Страницы указаны по издаваемой версии.
    К стр. 24, к доказательству неравенства Эйлера (задача 2.11a).
    К стр. 26, лист Мебиуса в книжке с тремя страницами (к задаче 2.19a, решение Т. Сеилова).
    К стр. 34, к задаче 2.15.
    К стр. 35, Утолщение графа (к задаче 2.21d, решение С. Соловьева).
    К стр. 35-36, Тор с дыркой в книжке с тремя страницами (к задаче 2.19b); краевые окружности ленты Мебиуса с дыркой меняются местами (к задаче 2.23d, рис. 25a), решение И. Сечина и М. Ягудина .
    К стр. 36, к задаче 2.23c (левая половина).
    К стр. 36-37, Преобразование диска с четырьмя ленточками, правая часть (к задаче 2.22b и другому решению задачи 2.26a, решение И. Сечина). `Разные' кольца с двумя лентами Мебиуса гомеоморфны (к задаче 2.23e, рис. 25b); преобразование диска с четырьмя ленточками, левая часть.
    К стр. 37, к доказательству формулы Эйлера (задача 2.26a).
    К стр. 45, п. 3.3: к определению степени; определение степени.
    К п. 3.3.
    К стр. 49, к задаче 3.2b.
    К стр. 51, к задаче 3.13ab.
    К стр. 52, к задаче 3.21bc; к задаче 3.22.
    К стр. 94, к определению клеточного разбиения.
    К стр. 104, к задаче 6.15a; к задаче 6.17c; к задаче 6.17d; к задаче 6.18.
    К стр. 105, к задаче 6.23d.
    К п. 8.3. Hopf fibration.
    К стр. 143, примеру линзовых пространств (слева).
    К стр. 148, определению приклеивающего слова.
    К п. 10.5. К п. 10.5.
    К стр. 151, к задачам 10.24 и 10.27. 1; 2; 3.
    К стр. 156, к задаче 10.13a; к задаче 10.16.
    16.02.2013: фото-1; фото-3. 2.03: фото-1; фото-2; фото-3. 9.03: фото-3; фото-4; фото-5; фото-6.
    16.03: фото-1; фото-2; фото-3. 13.04: фото-1; фото-2.
    26.04: фото-5; фото-6. 4.05: фото-1; фото-2; фото-2a; фото-3; фото-4.
    11.05: фото-1; фото-2; фото-3; фото-4; фото-6; фото-7; фото-9;

    Мотивированное и доступное изложение основ топологии

    Звездочками отмечена литература, требующая некоторой подготовки.
    [A] Д. В. Аносов, Отображения окружности, векторные поля и их применения. М., МЦНМО, 2003.
    [BE]
    В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович, Наглядная топология. М., Наука, 1982.
    [BE] V.G. Boltyanskii, V.A. Efremovich, Intuitive Combinatorial Topology. Springer.
    [CR] Р. Курант, Дж. Роббинс, Что такое математика. М., МЦНМО, 2004 (глава 5).
    [F] А.Т. Фоменко, Наглядная геометрия и топология, 1992.
    [FT] С. Л. Табачников и Д. Б. Фукс, Математический дивертисмент. М., МЦНМО, 2011.
    [FT] D. Fuchs and S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus. Amer. Math. Soc. Publ., Providence, R.I., 2007.
    [KRR] Towards higher-dimensional combinatorial geometry, presented by E. Kogan, V. Retinskiy, E. Riabov and A. Skopenkov. По-русски.
    [Mi14] * J. Milnor, Topology through Four Centuries.
    [Mk] * J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry. Springer, 2008.
    [Mv] * S.V. Matveev, Algoritghmic topology and classification of 3-manifolds. Springer, 2003.
    [MA] * Manifold Atlas.
    [P] В. В. Прасолов, Наглядная топология. М., МЦНМО, 1995.
    [P] Prasolov V.V., Intuitive Topology. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1995.
    [S] А. Б. Скопенков, Алгебраическая топология с алгоритмической точки зрения, Недостающие рисунки к параграфу 5.
    [S01] А.Б. Сосинский, Узлы и косы, М., МЦНМО, 2001.
    [S14] A. Skopenkov, Realizability of hypergraphs and intrinsic linking theory.
    [S18] A. Skopenkov, Invariants of graph drawings in the plane, Arnold J. Math. 6 (2020) 21-55; full version: arXiv:1805.10237; presentation.
    [S20] А. Б. Скопенков, Алгебраическая топология с геометрической точки зрения, М., МЦНМО, 2020 (2-е издание).
    [S20u] A. Skopenkov, A user's guide to knot and link theory, in: Topology, Geometry, and Dynamics, Contemporary Mathematics, vol. 772, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2021, pp. 281--309. Russian version: Mat. Prosveschenie 27 (2021), 128--165. arXiv:2001.01472.
    [S20e] * A. Skopenkov, Extendability of simplicial maps is undecidable, Discr. Comp. Geom., to appear.
    [S89] Ю. А. Шашкин, Неподвижные точки, М., Наука, 1989.
    [Z] * E.C. Zeeman, A Brief History of Topology.

    См. также:
    Санкт-Петербургская заочная олимпиада по топологии.
    А.А. Ошемков, А.Б. Скопенков, Студенческие олимпиады по геометрии и топологии, Матем. просв. 11 (2007) 131-140.


    Другие ранее исполненные курсы

  • Инварианты изображений графов на плоскости. Курс предложен в летнюю школу <<Современная Математика>>, но получил вечный отказ В.А. Клепцына. Желающие изучить этот курс могут связаться со мной.

  • Towards higher-dimensional combinatorial geometry. Main page. English. По-русски.

  • Некоторые приложения алгебраической топологии (весна 2021). Аннотация и программа, необходимые сведения, литература. Первые домашние задания (по книге [S20]): 10.9.1, 10.9.3*, 11.4.2a, 11.4.4ab, 11.6.1b, 11.6.2a, 11.1.1a*, 10.8.2, 11.4.1ab, 11.4.4cd, 11.4.5.

  • Спецкурсы в НМУ, на мехмате МГУ и на мехмате МГУ осенью 2012 Литература к этим прошлым спецкурсам - та же, что и к читаемым (но другие главы в соответствии с программами).

  • Топология-1, НМУ, весна 2014 (+ М. Скопенков).
    Программа. Видеозаписи лекций. Прием решений онлайн. Литература: параграфы 1, 2, 3 из [1].

  • Топология-2, НМУ, осень 2014 (+М. Скопенков).
    Программа. Видеозаписи лекций. Прием решений онлайн. Литература: параграфы 3, 4, 6, 8, 9, 10, 15 из [1].
  • Дифференциальная геометрия, мехмат МГУ и (осень 2013) ФИВТ МФТИ. См. также курс М.Б. Скопенкова.
  • Knot Theory, MiM, Spring 2014
    General information. References. On the final mark. Hints to some homework problems are given at the previous lecture.
    Homework problems.
    1.1*, 1.4, 2.1, 2.3.a, 3.1, 3.2a, 3.3, 3.5, 3.6 from [P].
    From [S] section 4; and from [S20u].
    1, 2, 3, 4, 5 из section 2.4 в [CDM]:=S.Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy. Introduction to Vassiliev knot invariants, Cambridge Univ. Press, 2012 (Chapters 1 and 2). 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 14, 19, 25 из [CDM, excercises to section 2, pp. 64-67] (нужно решать только для полинома Джонса, слова про полином Конвея в условии нужно игнорировать). 3.1.4, 3.2.3, 3.3.3* from [CDM, section 3].
    Problems 2.1, 2.2*, 3.4, 3.5*, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4ab, 5.1ab, 5.2, 5.3*, 6.1.ab, 6.2, 6.3*, Theorems/Results 3.4, 3.6, 3.8, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.7, 5.5, 6.3, 6.5, 6.8 from [PS] := Prasolov V.V., Sossinsky A.B. Knots, Links, Braids, and 3-manifolds. Amer. Math. Soc. Publ., Providence, R.I., 1996. В. В. Прасолов, А.Б.Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия, М., МЦНМО, 1997.

  • Последнее обновление/Last modification 18.07.2023.
    Contacts: s*open*o@mccme.ru, *:=k. Пожалуйста, направляйте пожелания и замечания Аркадию Борисовичу Скопенкову, s*open*o@mccme.ru, где *=k. Rambler's Top100