Contacts: s*open*o@mccme.ru, *:=k. Пожалуйста, направляйте пожелания и замечания Аркадию Борисовичу Скопенкову, s*open*o@mccme.ru, где *=k.
Тот, кто упражняется в дао, ежедневно теряет что-то из его внешнего, ложного блеска. (Чжуан-цзы, см. сноску 4 в в заметке)
The principle is this: that in everything worth having, even in every pleasure, there is a point of pain or tedium that must be survived, so that the pleasure may revive and endure. The joy of battle comes after the first fear of death; the joy of reading Virgil comes after the bore of learning him; the glow of the sea-bather comes after the icy shock of the sea bath; and the success of the marriage comes after the failure of the honeymoon. All human vows, laws and contracts are so many ways of surviving with success this breaking point, this instant of potential surrender. In everything on this earth that is worth doing, there is a stage when no one would do it, except for necessity or honour... The whole aim of marriage is to fight through and survive the instant when incompatibility becomes unquestionable. (G. K. Chesterton, What's Wrong With The World)
- `It's too difficult.' - `Write simply.' - `That's hardest of all.' (I. Murdoch, The Message to the Planet)
And the leap is not - is not what I think you sometimes see it as - as breaking, as acting. It's something much more like a quiet transition after a lot of patience and - tension of thought, yes - but with that [enlightenment] as its discipline, its orientation, its truth. Not confusion and chaos and immolation and pulling the house down, not something experienced as a great significant moment. (I. Murdoch, The Message to the Planet)
The modern world is full of theories which are proliferating at a wrong level of generality, we're so good at theorizing, and one theory spawns another, there's a whole industry of abstract activity which people mistake for thinking. (I. Murdoch, The Good Apprentice)
См. также эпиграфы к главам в книге.
Коллегам. Буду благодарен за Ваше мнение о своих курсах и стиле преподавания. По моему мнению, публичное профессиональное обсуждение разных стилей преподавания способствует развитию науки и образования. Традиция таких обсуждений восходит к Лао Цзы и Платону и продолжена, в частности, Д. Майером, П.Л. Капицей, Н.Н. Константиновым, В.И. Арнольдом и А.Х. Шенем (см. публикации выше). По моему мнению, закулисные административные обсуждения разных стилей преподавания вредят развитию науки и образования, а также ухудшают репутацию соответствующей администрации. Отзывы преподавателей (выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные).
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ -
просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться.
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.
Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.)
К 6.09: 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из
[S20].
Прочитайте первую фразу в п. 2.2.
Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии).
Посмотрите мультфильмы про тор и
Cutting a Moebius strip in half (and more).
Попробуйте программу A polygonal
line avoiding an obstacle.
Q: Задачи, как я понял, по дискретному анализу.
A: Рад, что задачи по топологии показались Вам задачами по дискретному анализу.
Стиль нашего курса - начать с заведомо интересного студентам материала и развивать этот интерес,
а не загружать студентов материалом, который им неясно зачем.
К 13.09: 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2cd*, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 и 1ad*, 2, 3a из п. 2.4
(в 2.3.5с и 2.4.3a используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и
1.4.1ca, 1.4.2c и 1*, 2a*b*c*, 3a* из п. 1.5.
Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1.
Посмотрите мультфильмы про крендель и
сферу с ручками.
Попробуйте программу
Boundary circles of disc
with ribbons.
К 20.09: 2abcd, 5, 6ab'b, 4, 3ba* из п. 1.4 и 1.3.3c*d* (далее используйте без доказательства)
и 4a, 6ab, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 и 2.5.1abcde (формулировка+эвристика), 2.5.2ab, 1.5.3b*c*.
Определения плоского графа и его грани можно найти в п. 1.3 (или в Википедии).
Посмотрите мультфильм
Euler's Formula and Graph Duality.
Готовьтесь к контрольной работе на 15 минут, прорешивая задачи и прочитав типичное пояснение
(а дальше уж и без предупреждения).
К 27.09: 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.2b, 2.5.3a, 2.8.1a и
1a, 2abd, 3ab, 5, 6a из п. 2.7 и 4.6.3abcd, 5.1.1, 2.4.8b*, 2.4.7*, 2.5.1d'*, 1.4.7a*, 1.6.1a*b*
и из [S, п. 1.3]: 4a*, 5a*.
К 4.10: 2.8.3a, 4.6.3egi* и (необходимые определения можно найти в разделе 5.1)
5.5.1bc, 5.5.4a, 5.5.5abс, 5.6.2ab, 5.6.3a, 5.6.1abcde, 2.7.2c*, 2.8.1d*, 1.6.1d*e*f*g*, 1.6.2a*b*.
Посмотрите мультфильмы Real projective plane and
Moebius strip, The cross-cap* и
Moebius strip and Cross-cap*.
2.8.3(a) Нарисуйте на диске с~$m$~лентами Мёбиуса $m$~замкнутых несамопересекающихся попарно
непересекающихся кривых, объединение которых не разбивает его.
К 11.10 (слегка изменено): 1.6.4c, 1.6.5, 2.8.5a, 5.6.1ghi, 5.6.3b, 5.8.2c, 5.1.4 (в 5.8.2c и
5.1.4 используйте без доказательства утверждения 5.5.2, 5.8.1, 5.8.2ab, 5.8.4), 5.1.3a, 5.7.1abcd, 5.7.2a,
1.6.3(bI)*(bE)*a*, 1.1.2* и 1b*c*, 2a*b*a'*b'*, 3a*a'* из п. 2.6.
2.8.5(a) Лента Мёбиуса с~ручкой гомеоморфна ленте Мёбиуса с~вывернутой ручкой.
К 18.10: 5.4.2b и
по [S]: 1, 2, 3a, 4 из п. 4.1 и 1ab,
2ab, 3b из п. 4.2 и по [S20]: 1abcd, 2abcd, 3ab* из п. 3.2 (в 3ab* примеры без доказательств) и
3b*, 4a*b*c*d*, 5(bE)*(bI)*a*, 6* из п. 2.6.
К 25.10: 3.3.1ab и 1, 2ab, 3abc, 4abc, 5ac, 6ab из п. 3.4 и
7a*b*, 8(bE)*(bI)*a* из п. 2.6 и 2.7.6b*, 2.7.7a*b*с* и 2a*b*c*, 5b*c*d*e*, 6c* из п. 2.8.
Посмотрите мультфильм о векторных полях.
2.8.2(a) Пусть на ленте Мёбиуса нарисован без самопересечений связный граф с~$V$ вершинами
и~$E$ ребрами, не пересекающий краевой окружности. Обозначим через~$F$ число граней. Тогда $V-E+F\ge1$.
(b)~Граф~$K_7$ не реализуем на ленте Мёбиуса.
К 1.11: 3.4.7ab* и 1a*bcdf, 2bcde, 3abc*, 4cde*, 5abcd
из п. 3.5 (доказывайте непрерывность, приводя формулу \delta(\epsilon)=...) и
[BMS, 5.1*, 5.2*, 5.3.a*b*c*] и 3.1.5a.
2.7.8a*b*c* и 5.6.4b*c*d*, 5.6.5*, 5.7.3a*.
Попробуйте программу
Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
К 8.11: 1abcd, 2, 3, 3Sp(доказать), 4 из п. 3.6 (в 3.6.3 нарисуйте граф с
вершинами 3.1.2, 3.3.1c, 3.4.5b, Re, Sp, RePL*, BrPL*, Br\epsilon*, и ребрами - минимальными импликациями,
которые Вы доказали; минимальность означает отсутствие тех импликаций, которые получаются по
транзитивности; импликации, включающие RePL, BrPL и Br\epsilon, со *; отчет по 3.6.4 аналогичен 3.6.3,
вершины - 3.1.3 и a*,b,c,d) и 3.7.1abcd, 3.7.2abc.
Посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике.
Посмотрите кино о теореме Борсука-Улама и
короткометражку о гомотопии.
К 15.11: 3.6.2, 3.6.4 (равносильность 3.1.3 и b,c,d), 3.7.1abcd, 3.7.2abcd,
3.8.1abc, 3.9.1abcd, 3.9.2a'a''ab'bcde, 3.9.3a, 3.3.1c, 3.4.5b, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.1* (четко
сформулированные версии леммы о поднятии гомотопии 3.9.2b можно использовать без доказательства тому,
кто доказал лемму о поднятии пути 3.9.2a'').
Посмотрите первую половину немого кино о накрытиях.
К 22.11: 3.9.3bc, 3.9.4ab*, 3.1.4b, 3.1.5abc*, 3.10.1a*b*с*,
3.10.2*, 3.10.3a*b*, 3.11.1a*b*, 3.11.2a*b*c*, 3.11.3a*b*c*d*e*, 3.1.6a*b* (лемму о поднятии гомотопии
3.9.2b уже нельзя использовать без доказательства).
К 29.11: 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3b, 4.1.1a, 4.3.1abcde, 4.4.1a* и
К 6.12: подсказка к 4.5.1b и
ее реализация (5Mb) и по
[S20u]: 1.1ab*c, 1.3, 4.1, 4.2, 4.3a, 4.4*, 2.1ab*c,
3.2, 3.3, 6.1abcde, 6.2*, 6.3.a*, 8.1, 5.1a*b*, 5.2a*b*.
Посмотрите первую часть лекции и
вторую часть рекламы*.
К 13.12: по [S14]: 2.4ab,
1.1(существование)(нечетность), 1.4(существование)(нечетность)*
(подсказки тут) и
по [S]: 1abc, 2, 6a*b* из п. 4.3 (for the case
when the vertices are in general position) и 1, 2abcdef, 3, 4a* из п. 4.4.
К дифф. зачету 20.12:
Для самостоятельной работы и для 3-курсников (этот материал входил в курсы прошлых лет):
5.1.5(первое предложение)*(второе предложение)*
8a*b*, 9a*, 11a*b* из п. 2.8.
Аннотация и программа.
О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 9-16.09).
Как ставится оценка за экзамен/зачет?
Литература: [S20, параграфы 1-5],
[S, параграфы 1, 4],
[CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89].
Успехи студентов.
Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7,
3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из
[S20]
и 1.1, 1.4 из [S14].
Q: Можно ли сдавать задачи, заданные на предыдущие занятия?
A: Из нужно решать и обсуждать с участниками курса, ибо их правильные решения нужны для
понимания дальнейшего материала.
О сдаче см. << О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 9-16.09)>> выше.
Q: Будет ли видеозапись занятий?
A: Против видеозаписи я не возражаю, но обычно она не ведется.
Изучение книги, самостоятельное решение домашних задач и их обсуждение полезнее просмотра видео.
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке НМУ -
просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться.
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.
Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.)
К 9.09. 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из
[S20].
Прочитайте первую фразу в п. 2.2.
Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии).
Посмотрите мультфильмы про тор и
Cutting a Moebius strip in half (and more).
Попробуйте программу A polygonal
line avoiding an obstacle.
К 16.09. 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2c, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 (в 2.3.5с используйте без
доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.4.1a, 1.4.1ca.
Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1.
Посмотрите мультфильмы про крендель и
сферу с ручками.
К 23.09. 3c, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3a, 4a из п. 2.4
(используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a).
Видео лекции.
К 30.09. 2.3.1b и 6a, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство
Эйлера 2.5.3a) и 1c, 2abcd, 5, 6ab'b, 4 из п. 1.4.
К 7.10. 1.4.2cd, 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.1abcde
(формулировка+эвристика), 2.5.2ab, 2.7.2ab.
К 14.10 (разбор 28.10). 2.5.3a и 1a, 2d, 3ab, 5 из п. 2.7 и 1, 2abcd, 3aa'bc* из п. 1.5.
Занятие 14.10 отменяется.
К 21.10 (разбор 28.10). 2ab, 4abc, 5 из п. 1.6 и 4.6.3abcdegi*.
Занятие 21.10 не обязательное (хотя задание к 21.10 обязательное).
Оно состоится в 18.10-19.40 в виде доклада на научном семинаре лаборатории алгебраической топологии и
приложений на ФКН ВШЭ:
A quadratic estimation for the K\"uhnel conjecture
(S. Dzhenzher and A. Skopenkov).
Ссылка для дистанционного участия будет дана здесь.
К 28.10. 5.1.1 и (необходимые определения можно найти в разделе 5.1)
5.5.1bc, 5.5.4a, 5.5.5abс, 5.6.2ab, 5.6.3a, 5.6.1abcdeghi*,
К 4.11. 5.6.3b, 5.8.2c, 5.1.4 (в 5.8.2c и 5.1.4 используйте без доказательства утверждения
5.5.2, 5.8.1, 5.8.2ab, 5.8.4), 5.1.3a, 5.7.1abcd, 5.7.2a.
Аннотация и программа 2019-2021.
О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 5-10.09).
Видеозаписи занятий (2021).
Литература (2019-2021): [S20, параграфы 4, 6, 8, 9],
[S, параграфы 1, 2, 4, 5].
Для его изучения достаточно сдать вариант без * курса Дискретные структуры и
алгоритмы в топологии (впрочем, не весь материал того курса необходим).
Примеры красивых теорем, которые будут изучаться (2019-2021): 1.2.2, 1.4.1, 2.2.2, п. 5.7 из
[S] и 4.6.2, 6.7.7, п. 8.1, п. 8.5, 9.1.3-9.1.5
из [S20].
Домашние задания 2021
Ко 2.09: 1.3.4ab, 1.4.1*, 6.4.1ab*, 4.6.1a из
[S]
и 2.4ab, 1.1(существование), 1.4(существование) из [S14].
К 9.09: 1.3.5a, 1.1.1b, 1.4.2ab, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4a, 1.1.3a и 3, 4, 5ab, 6ab, 7ab, 8, 9, 1,
2(K_5)* из п. 1.5 и 2.2.1ab, 1.2.2b из [S].
Используйте без доказательства теорему Куратовского 1.2.4.
К 16.09: 1.1(существование), 1.4(существование) из
[S14] и 1.5d, 1.8abcde, 1.9be, 2.4, 2.6, 2.7b* из
[KRR] и 1.1.4*, 1.3.5b, 1.4.5, 1.5.8, 1.5.1,
2.2.2ab, 2.2.3, 4.6.2, 4.9.3bc, 5.1.1a* (нужен рисунок, а не доказательство),
5.2.1ab, 5.2.3 из [S].
К 23.09: 1.1, 1.4(существование) из [S14]
(упрощенное док-во) и 3.6.2 из
[S20] и 1.1.4*, 1.4.5, 2.2.2b, 5.2.1b,
5.2.2ab, 5.2.4, 5.3.1, 5.3.2ab, 5.4.1 и 1abc, 2ab*, 3ab, 4ab, 5ab, 6a*b*c*d* из п. 5.5 из
[S].
К 30.09: 1.4(существование) из [S14] и
2.2.2b, 5.2.2b, 5.5.4ab, 5.6.2d, 5.6.4abce, 5.6.6a (нужен рисунок, а не доказательство), 5.6.6b и
1ab*, 3ab, 4 из п. 5.8 и 5.7.1ab* (see \S5.9; use without proof Borsuk-Ulam Theorem 5.9.1) из
[S].
К 7.10: 5.6.4b, 5.8.1bc, 5.8.3b, 5.8.4, 5.7.1ab* (see \S5.9; use without proof Borsuk-Ulam
Theorem 5.9.1) и 3, 4, 5abcd, 6*, 7* из п. 5.10 и 6.4.1ab*, 6.4.2ab, 6.4.3ab, 5.12.1abcd в
[S].
К 14.10: 4.8.1ab(кроме двух), 4.8.2a, 4.9.1a, 4.9.2abde, 5.10.2* из
[S] и 6.1.2a и 1ab, 2ab, 3abcd*, 4, 5abcd из п. 6.2
(там, где это осмыслено, решайте для триангуляций, а не для клеточных разбиений;
многие задачи в параграфе 6 полезно сначала решить для триангуляций, а затем для клеточных разбиений).
К 21.10: 4.8.2a, 4.9.2e из [S] и
1abcd, 2ab, 3, 4abc, 5ab, 6ab*, 7abb*, 8abc, 9ab из п. 6.3 и 6.1.2b и 1abc, 2ab, 3* из п. 6.4.
Утверждение 6.3.7b верно только для локально евклидовых гиперграфов и в пункте без * надо доказать его для
локального евклидовых гиперграфов, а в пункте со * - построить контрпример для не локального евклидовых.
К 28.10: 6.3.7b, 6.3.9ab, 6.1.2b, 6.4.1c и 1a(без симметричности), 1bc, 2, 3a*, 4ab,
5a(только KxI), 6a из п. 6.5 и 1abcd (в п. (d) определите <<естественные>> отображения $f$ и $f^*$),
2ab, 3ab* из п. 6.7 и 6.6.2.
К необязательной консультации 4.11 (ориентировочно 13.55-14.10 разбор базовых задач, 14.10-14.25
разбор основных задач, 14.25-14.40 разбор сложных задач, 14.40-15.10 новый материал): 5.8.1ab*c*d (по эл.
версии), 6.5.5b*, 6.5.6a, 6.7.1b, 6.7.2bcd(форма пересечений симметрична),
6.7.3a (достаточно нестрогих рассуждений), 2.2.5d, 6.6.1a, 6.6.2.
К 11.11: 6.5.6b* и 4, 5abcd*ef, 6 из п. 6.7 (используйте без доказательства утверждение 6.7.5d
для других утверждений) и (достаточно нестрогих рассуждений) 6.6.1b* и 1ab, 2 (напишите номера задач,
аналоги которых сделали), 3(равносильность), 6abcde, 7abc из п. 8.1.
К 18.11: 6.7.5bf, 6.7.6 и 2(3.7.2d), 7cde, 5ab, 4*, 6f* из п. 8.1 и 1abcd, 2, 3abcde, 4, 5abc,
6acd из п. 8.2. Утверждением 8.2.6b можно пользоваться в других задачах без доказательства.
К 25.11: 2(3.7.2d), 3(доказательство), 5b, 4* из п. 8.1 и 2*, 5b, 6abcdef, 7, 8 из п. 8.2 и
8.3.2ab*, 4.5.2c, 4.6.3i, 4.7.1abcdei,
8.4.1abc, 8.4.2 (4.5.1abcdf, 4.5.2a; напишите номера задач, аналоги которых сделали).
Утверждением 8.2.6b можно пользоваться в других задачах без доказательства.
Кo 2.12: 8.2.6b, 4.5.1f, 4.5.2b (см. определение в конце п. 2.1), 4.5.3*, 4.7.2
(предполагая корректность) и 1abc, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 4.6.1 и 1de (см. определение сферы с ручками в
п. 2.1), 2(4.5.3*, 4.6.1), 3a(гомеоморфность)*(подмногообразие) из п. 8.4 и 8.6.1ab, 8.6.2ab.
Теоремой 8.3.1a можно пользоваться в других задачах без доказательства.
К 9.12: 8.2.6b, 4.5.2b (см. определение в конце п. 2.1), 4.8.2c, 8.4.1d (см. определение
сферы с ручками в п. 2.1), 8.4.3ab*c*(подмногообразие), 8.4.4c, 8.6.1bcdc'd', 8.6.2cdef* и
2, 1ab, 3ac из п. 8.5 и 1ab, 2a, 3abc (по эл. версии) из п. 8.7.
Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства. И посмотрите
мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых),
мультфильм-1 (для детей),
мультфильм-2 (для детей).
К зачету 16.12: 4.5.2b, 8.4.4c, 8.5.3ac и 1b, 2ab, 3abc (по эл. версии), 4a, 5a, 6a*, 7ab из
п. 8.7 и 1, 2ab*, 3ab, 4, 5, 6ab* из п. 9.4 и 9.3.1a, 9.1.1a, 9.1.2ab, 9.2.2abcdef (deg f четно).
Можно пользоваться без доказательства результатами задач 8.7.6abc и эквивалентностью ориентируемости
следующему.
Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную
кососимметричную форму V^n\to R.
Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств
к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N.
В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
Домашние задания (если источник не указан, то задание по
книге [S20];
бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке;
cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
(cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
К 10.09: 8.10.1a, 8.12.1a, 8.12.2a, 8.1.7a*b* и (по бумажной версии) 9.1.1ab*, 9.1.2ab, 9.2.2c
из [S20].
К 18.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2cde, 9.3.1ab, 9.3.2ab* и 1, 2ab*c*d*, 4, 5, 3ab, 6ab*
из п. 9.4 (указание: сделайте для триангуляций 6.2.3abc, 6.3.1bcd, 6.3.2ab, 6.3.3, 6.4.1ab).
Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему.
Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную
кососимметричную форму V^n\to R.
Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств
к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N.
В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К 24.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2de, 9.3.1b, 9.3.2a, 9.4.3b и (трехмерный аналог
задачи 6.1.2b)* и 2ac*, 3abc, 4ab, 5ab* из п. 9.7 и 10.4.1abcd.
Ко 2.10: 9.3.1b, 9.7.4ab, 9.7.5ab*, 10.4.1def, 10.5.1abcd, 10.5.2 (аналог 6.5.4ab).
К 9.10: 10.5.1ef, 10.5.2 (аналог 6.5.5a), 10.5.2g, 6.7.3b, 9.2.2f (deg f четно),
9.2.1 (эвристика) (строгое док-во)*, 9.7.1a, 9.7.5b, 9.1.6.
К 16.10: 9.4.6ab*, 9.1.3 mod 9.5.1, 9.7.1b*, 10.8.1ab*, 9.5.1
К 13.12: 7.1.2ab, 7.1.1ab*, 7.1.7abc, 7.1.7c, 7.2.2, 7.2.5
Векторные поля на многообразиях и теория
гомологий, НМУ, весна 2021.
3.4.6a, 3.11.1a, 4.1.1a, 4.2.2, 4.3.1a, 4.4.2ab, 8.9.1a* и 2ab, 4abc, 5ac*, 6b, 7a из п. 3.4 и 3.8.1abc
и 1abcd, 2a'a''abb'ce, 3a из п. 3.9 и 1ab, 2abc, 3abc*d из п. 3.11 и 3.7.2ab, 4.2.3b, 4.4.2b и
3.7.2cd*, 3.3.1с, 3.4.5b, 3.10.2, 3.10.4(n=1), 3.11.2b, 3.11.3bce, 3.1.6a, 4.3.1bce, 4.3.2a, 4.1.2a и
3.11.3c, 4.3.2a, 4.1.2ab*, 4.4.1a и 1(c-i), 2abc, 3, 4 из п. 4.5 и 4.6.1, 4.6.3(a-g) и
1abcd, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали) из п. 8.1 и
4.6.2 и 3, 6(a-f), 7(a-e), 5ab из п. 8.1 и 8.2.1(a-d), 8.2.2
(начинайте решать предложенные задачи из параграфа 8 со случая n=2 - там, где он осмыслен)
и 4.7.1(a-h),i*, 4.7.2 и 3(a-f)2*, 4, 5abc, 8 из п. 8.2 и 8.4.1abcd.
и 5abc, 6abcdef, 7 из п. 8.2 и 2, 3abc*(p=3q=3), 4a из п. 8.4 и 8.6.1abcdc'd' (для достаточно мелкой
триангуляции) и 8.6.2abcdef, 8.5.1ab, 8.5.2 и 8.3.2abcde, 8.3.1a и 1ab, 2ab, 3a, 4a, 7ab (используя
корректность 8.7.6) из п. 8.7 (по электронной версии) и 8.8.1abcde, 8.8.2abcd и посмотрите
мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых) и
мультфильм-1 (для детей)
мультфильм-2 (для детей).
и 8.7.3bc, 8.7.4b (по электронной версии), 8.8.2abcd и 4.9.1abc, 4.9.2 и 1abcd, 2, 3a (для m>4), 4ab из
п. 4.10 и 8.5.3abc, 8.6.4a (для m=5,n=3), 8.6.5a, 9.8.7a и 8.6.3abc*, 8.7.6a, 8.8.2abcd, 8.8.3ab, 9.8.7bc.
4.4.6abc*, 4.4.7a, 5.12.1abcd* и
Remark 2a, 1st paragraph и
прочитайте стр. 30-31 и 37.
If $A\subset X$ is a strong deformation retract of $X$, then for any $Z\subset\R^d$
the restriction induces a 1--1 correspondence $[X,Z]\to[A,Z]$.
Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, 2019. Аннотации и программы похожих курсов <<Теория гомологий для пользователя>>, НМУ и МФТИ, весна 2018, и <<Топологическая теория векторных полей на многообразиях>>, НМУ, весна 2016.
Домашние задания
(если источник не указан, то задание по книге [S];
cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; если не
получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.)
11-25.07, 8.08: Some material from \S8.1-8.5,
[KS21],
[DS22],
[KS21e].
К 15.08: Th 1.1ab* (=>), Th 1.4* (=>);
C121a mod Th 123, L232, R251: E<=>EH, R252b*.
К 22-28.08: 1abc, 4abcd*, 5, 8ab из п. 8.3 и 1.5.6, 5.8.5, 8.5.1abcdef и по [S20]: 13.1.1abcd*e.
К 18.09.2022: 8.3.6abcd, 8.5.2abc, 8.3.4a и по [S20]: 13.1.1ce, 6.8.2, 6.8.3ab и по [RS72, \S5]:
2.1, 2.3, 4* (без Addendum).
Hint to 13.1.1c: Define a map $p_1:D^2\times S^1\to D^2$ by $p_1(z,w)=zw$.
Find a self-homeomorphism $h_1$ of $D^2\times S^1$ such that $\pr_1 h_1 = p_1$.
Пересмотрите мультфильм про отображение Хопфа.
[RS72] C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to Piecewise-Linear Topology, Springer, 1972.
(К. П. Рурк и Б. Дж. Сандерсон, Введение в кусочно-линейную топологию, Москва. Мир. 1974.)
К 24.09: 8.3.6cd, 8.5.2acd, 8.3.4a и по [RS72, \S5]: 2.1, 2.3, 4* (без Addendum) и по [S20]:
6.8.3a, 13.1.1c, 10.6.1, 10.6.2ab, 10.6.3ab, 10.6.4ac.
Ко 2.10: по [S20]: 10.6.4acd, 11.2.1abc (G=Z_2), 11.3.1abcd, 11.3.2abcd, 11.3.4ab (далее
используйте 11.3.3 без док-ва) и по [S]: 5.14.4c, 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72, \S5]: 4* (без Addendum).
К 9.10: по [S20]: 6.8.4ab, 11.2.1cd (G=Z_2), 11.3.2d, 11.3.3
и по [S]: 7.2.8b*, 7.2.9bad*c*, 8.3.6c и по [RS72, \S5]: 4* (без Addendum).
К 16.10: 8.3.6d 8.4.2ab (если не выходит, прочитайте док-во в п. 8.5), 8.5.3
К .12: По [KS21e]: 2.5.3, 2.5.4abcde
(see definitions before Addendum 2.4.3).
Весна 2022:
4.9.1c и 1alpha,a'abcdefg*, 3abc, 4ab*, 5ab, 5c(n=2), 5cc(n=3), 6a(n=2)a(n=3)b(n=2)b*(n=3) из п. 4.10
и 6.6.7abc
For each m construct an immersion a_m : R^m \to R^{2m} which is approximately linear outside the unit
ball, and has a single double point
(hint)
По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for k=r=2,
for r=2\le k-1 (hint: Remark 3.1.c), Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.11.2a
для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage
of a regular neighborhood is a regular neighborhood).
John Milnor: Spheres;
[S20, 5.8.1acde];
Lemma 1.5* (use without proof Theorem 1.6);
The Weber Theorem 8.1 for m=n+2=3
(hint: Proposition 8.2); 4ab, 3, 8;
1.3ab, the k-independence in Theorem 1.4 for k=2.
Осень 2020:
По [S20]: 5ab, 6, 7ab, 9abcdef из п. 14.5 и 4a, 5b*, 6, 7abce, 8c из п. 15.1 и 1, 2 (эвристика), 3a
(разберите доказательство), 5ab, 4 из п. 15.2 и 1ab, 2a, 3, 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 5, 7ab, 4, 2
(разберите доказательства) и 2d, 3ab из п. 9.4 и 9.5.1 (подсказки: п. 9.6, 9.7) и 1abcdfg, 2abcd, 3abcdfg,
6a, 7abc, 8abcd* из п. 9.8 и 2ab, 3, 4, 1, 5ab*, 6a из п. 9.9 и 2.1, 3.1, 2.2a, 4.1, 2.2b, 2.3ab (без
вложений), 2.2c, 5.1a из \S12.
Докажите (для PL случая)
сильную теорему Уитни о вложении.
Unknotting Theorem 2.4
Докажите (для PL случая)
the Penrose-Whitehead-Zeeman Theorem 6.1; сформулируйте свойства регулярных окрестностей, используемые
в доказательстве [RS99, \S8]; from now on use without proof [RS99, Engulfing Lemma 8.1].
Deduce
Theorems 2.4.a and 6.2 for dN=S^{n-1}.
Use without proof the existence of a regular homotopy between any two embeddings N\to R^{2n} (for 2.4.a)
and immersability of N to R^{2n-k-1} (for 6.2).
Or prove the theorems by engulfing.
[HH63, Theorem 3.1.a].
From now on: use the Smale-Hirsch theorem 15.3.6 without proof.
Theorem 6.5 (подсказка: Lemma 2.2.W_0').
По атласу.
[HH63] A. Haefliger and M. W. Hirsch, On existence and classification of differential embeddings,
Topology 2 (1963), 129--135.
[RS99] D. Repovs and A. B. Skopenkov. New results on embeddings of polyhedra and manifolds
into Euclidean spaces, Russ. Math. Surv. 54:6 (1999), 1149--1196.
[Sk16c]
Embeddings in Euclidean space: an introduction to their classification.
Примеры красивых теорем, которые изучались: [S20, пункты 9.1, 11.1, 12.1, 16.1];
НМУ, весна 2013:
аннотация и программа (в окончательную программу вошли пункты 1,2,4,5,6),
видеозаписи лекций.
НМУ, осень 2013:
аннотация и программа,
видеозаписи лекций.
НМУ, осень 2015: аннотация и программа.
Домашние задания для МФТИ
(если источник не указан, то задание по книге [S];
cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
К 1.02: 2.1.4ab, 2.2.1a, 2.2.2a, 2.2.3, 7.1.3a и по
[S20]: 3.1.4b и посмотрите
кино о лемме Шпернера в мат. экономике.
К 8.02: 2.1.3abd, 2.1.5 (mod Barany CCT), 2.1.6*, 2.2.1b, 2.2.2b, 2.3.1abcd, 6.1.1,
6.1.3 (mod Barany CCT), (5.8.4 или аналог для числа Радона), 6.1.2,
(6.2.1 или 6.2.3 при помощи чисел ван Кампена или Радона), 7.1.1ab*, 7.1.2ab, 7.1.3bc*,
(6.2.1 при помощи теоремы Борсука-Улама 5.9.1, которую можно использовать без доказательства), 5.9.1 (d=2).
К 15.02: прочитайте п. 6.1-6.3 и 6.3.7a, 6.4.1abc*, 6.4.2(r=6), 7.1.1b* (для дерева K),
5.9.4abcdef, 5.9.3(равносильность), 5.9.1, 5.3.1, 5.3.2ab, 7.2.2abcd.
К 22.02: 5.5.1ab и 1ab, 6, 7abcd, 8abc* из п. 7.2 и 1, 2(1)-(5), 3ac из п. 7.3 и 7.4.1abc.
К 1.03: (6.3.2b mod 7.3.5 и 7.3.6), 7.2.7ce*, 7.4.1de, 7.4.2, 6.3.2a (для r простого).
По [S20]: 3.2.4ab, 9.2.2ace.
К 15.03: (6.3.2b mod 7.3.5 и 7.3.6), 7.4.1dee', 7.4.2, 6.3.2a (для r простого) и
[KS21, Remark 1.3.C] и по
[KS21e]: Corollary 1.2.1a (mod 1.2.3 and 2.3.2),
Lemma 2.3.2 for M = R^{2k}*, Corollary 1.2.2 (mod 1.2.3 and 1.2.4a), Corollary 1.3.2ab
(mod 1.3.1a, 1.3.4 and 2.1.7), Lemma 2.1.7*, Corollary 1.3.3b (mod Theorem 1.3.4)
и по bipartite.pdf: Lemma 2ab*, Lemma 3ab (mod Lemma 2b*), Theorem 1 (mod Lemmas 3ab and 4)
и по [S20]: 3.2.4b, 9.2.2cef и 1, 2ab из п. 14.1.
К 22.03: по [S20]: 3.2.4b, 10.1.2a,
15.6.4a*bcde, 14.4.2abc*de. Корректностью определения инварианта Хопфа ([S20, 8.7.6]) и его инъективностью
([S20, 8.7.8g, 8.8.2c) можно пользоваться без доказательства в задачах этого и следующих заданий.
Если не получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках
доказательств.
К 29.03: по [S20e]: 1.6, 1.7, 1.9aa'*bb'*, 1.8ab,
1.2, 1.1 и по [S20]: 3.2.4cdefg, 3.2.5ab,
3.10.3abc и 2cdef*g, 3, 4, 5, 6abcd из п. 14.1.
К 5.04: по [S20e]: линейность* и
суперкоммутативность* произведения Уайтхеда, 1.6 для l четного (используя линейность без док-ва), 1.9b и по
[S20]: 3.2.4efg, 3.2.5ab, 3.11.3abcde, 14.1.6cd,
14.1.2i (используйте пояснение и без
доказательства 14.3.2), 14.3.2 (образующие), 14.3.1 (используя без доказательства 14.3.2), 14.1.7c,
14.4.1ab и по [S]: 9.1.1 (прочитайте), 9.1.2abc.
К 12.04: по [S20]: 14.1.6cd, 14.3.2
(образующие), 14.1.2i и 14.3.1 (используя без доказательства 14.3.2), 14.1.7c, 14.4.1ab и по [S]:
9.1.3a*b*, 9.2.1ab, 9.2.2 (прочитайте), 9.2.3ab и 1abcdefghi, 2abc*, 3ac(необходимость)*c*, 5a, 4a из
п. 9.4.
К 19.04: 9.2.1b, 9.4.5ab, 9.4.4ab и 1abcd*, 2ab, 3ba из п. 9.5 и по
[S20]: 14.1.7c, 9.4.6ab, 10.4.2aa,ab,ac,b.
К 26.04: по [S20]: 9.4.6b, 10.4.2c и 2(аналоги 6.5.4ab и 6.5.5ab)g, 3abcd, 6(6.5.1-6.5.3), 7ab,
8* из п. 10.5 и 14.9.1 a(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) b(реализация класса),
14.9.2a (для PL 3-многообразий и отображений; под $S^1$ понимается $S^1_{PL}$; значение PL отображения
называется {\it регулярным}, если оно не совпадает с образом ни одной вершины некоторой триангуляции,
для которой отображение симплициально) и
по [S]: 9.4.6a(необходимость) и 2a, 4, 5* и 6* (для замкнутых PL 3-многообразий) из п. 9.5.
К 3.05: 9.4.6a(необходимость), 9.5.2a и 1ba, 2, 3ab, 4 из п. 9.6 и 9.8.1b(n=2)c(n=2)
и по [S20]: 10.5.2efg, 10.5.7c*, 14.9.1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3)
a(реализация гомологичности для n=3)* c(n>3), 14.9.2a(n=3)d(n=3)*, 14.9.3a(корректность для n=3).
К консультации 10.05: 9.6.4, 9.8.1b(n=2)c(n=2), 9.8.2b(n=3)c(n=3)
и по [S20]: 14.9.1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3)
a(реализация гомологичности для n=3)* c(n>3), 14.9.2a(n=3)d(n=3)*, 14.9.3a(корректность для n=3).
К дифф. зачету 17.05 (15.30-17.20): РДП (или тексты по исследовательским задачам) и
9.8.2b(n=3)c(n=3), 9.8.3 и по [S20]: 3abc (по эл. версии), 5ab, 6a*b*c* (далее 6abc можно использовать
без док-ва), 7ab, 4b, 8abcdefg, 3b (по бум. версии) из п. 8.7 и 14.5.1ab, 14.5.5ab
(подсказка: определение локально-тривиального расслоения в конце п. 13.1) и
1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) c(n>3), 2 a(n=3) d(реализация класса)*,
3 a(корректность для n=3) b(реализация класса для n=4)*c* из п. 14.9.
Для самостоятельной работы (этот материал входил в курсы прошлых лет): по [S20]: 14.7.1ab,
14.9.4a(корректность для n=4)*b(реализация класса)*с* и 1abcde, 2abc, 3a*b* из п. 8.8.
Гомотопическая топология с алгоритмической точки зрения (весна 2020).
Аннотация, программа и литература.
Вводные задачи: 2, 3, 4b, 5c, 6ab из п. 3.1 и 3.10.2, 3.10.3с, 4.3.3b*, 4.4.2ab*, 8.6.2ab* по
[S20] и
посмотрите мультфильм о расслоении Хопфа.)
Далее - то же, что по курсу <<Введение в топологическую комбинаторику>> с 9.03,
по [S]: пп. 5.9, 5.11, 5.12 и по [S20]:
(3.2.3a с доказательством)*, (4.2.4a для заузленных окружностей)* и
10.1.3, 10.1.7*, 14.3.3ab* и прочитайте п. 10.2 и 10.3.1.ab, 10.3.5 и
13.4.2cd*, 13.4.3ab и 5ab, 6a-g, 7a-e из п. 8.1 и 8.2.4a*b*c*, 1a-h, 2a-g, 3, 5e*f*, 6, 7 из п. 8.2 и 8.3.1a*b, 14.9.1ac, 14.9.2a
(для PL многообразий и отображений), 8.7.5a, 8.7.8abc*d*e*.
Утверждениями 8.2.4c, 8.2.5ef, 8.3.1a можно пользоваться в других задачах этого и следующего заданий
без доказательства. И 8.3.1a*b, 8.7.8f*g*, 8.7.4b*, прочитайте п. 13.1, 13.1.1abc, 13.2.1f, 13.4.1 и
13.4.2b (с заменой векторных расслоений на I-расслоения), 13.2.3a*b*, 13.4.2c, 13.4.3ab.
13.4.4a (первая фраза), 13.3.1a*b*, 13.4.4b*c*, 4.1.6.b*, 4.9.2b*,
леммы 6* и 7*; F определен на стр. 8.
Через гомотопическую топологию к сверхтекучести. Мастер-класс (осень 2018), ориентированный на студентов ФОПФ. Доп. литература: [S, параграф 4] и [S20, параграф 8.7] и [MM95, RSS05] из [S20].
Домашние задания по части 2 (если источник не указан, то задание по
книге [S];
cледите за обновлениями заданий и pdf-файла книги! окончательны только задания с жирными датами)
К 10.09: 1.1.1b, 1.1.2, 1.1.3abcd, 1.1.4*, 1.2.2a, 4.1.6a*b*c*d*, 5.2.3 из
[S] и 1.1 из
[S14].
К 17.09: задачи к занятию 9-10.09 и 1.4 (существование) из
[S14] и 1.5d, 1.8abcde, 1.9be, 2.4, 2.6, 2.7b* из
[KRR] и
Lemma 2 и 1.3.5b, 1.4.5, 1.5.8,
1.5.1, 2.2.2ab, 2.2.3, 4.6.1ab*, 4.6.2, 4.9.3bc, 5.1.1a* (нужен рисунок, а не доказательство),
5.2.1ab, 5.12.1b*c*d*f*h*, 5.13.1 (продолжаемость) и прочитайте п. 5.7.
К 24.09: 1.1.4*, 5.2.2ab, 5.2.4, 5.3.1, 5.3.2ab, 5.4.1 и 1abcd, 2ab*, 3ab, 4ab, 5ab,
6a*b*c*d* из п. 5.5 и 5.6.2d, 5.6.4abce.
К 1.10: 5.6.6a (нужен рисунок, а не доказательство), 5.6.6b и 1ab, 3ab, 4 из
п. 5.8 и 5.7.1ab (see \S5.9; use without proof Borsuk-Ulam Theorem 5.9.1).
Classify smooth embeddings into R^5 of S^2\times D^1, (of punctured S^2\times S^1)*, (of the boundary
connected sum of two copies of S^2\times D^1)*;
use without proof that any two embeddings into R^5 of S^2 are isotopic.
К 8.10: 5.8.1bc, 5.8.4, 5.7.1a, 4.8.1ab(кроме двух), 4.8.2abcd, 1.3.6 [S; обновлено] и
Examples 3.4ab, 3.1abc, 3.2*, 3.3* (use without proof
Unknotting Spheres Theorem 2.3 and isotopy of embeddings S^k\times[0,1] coinciding on S^k\times0 and
having homotopic normal vector fields to S^k\times0)).
Лекционная часть занятия 8.10 (19.00-19.50) совмещена с докладом
"Invariants of graph drawings in the
plane" at
"Selected Topics in Mathematics" online seminar.
К 15.10: Приготовьте к сдаче задачи к 8.10 и 3ab, 4ab, 5ab, 6ab из п. 4.6 и 4.9.2abcde и
3, 4abcd, 5 из п. 5.10.
К 22.10: 6b, 7ab, 8a из п. 4.6 и 4.8.4a, 4.9.1a, 4.9.2ce и 1*, 3, 5 из п. 5.10 и
и по статье.
К 29.10: 4.6.8b*, 4.6.9ab*, 4.9.2c, 4.9.5a, 4.9.6ab и 1, 3, 5, 6, 2 из п. 5.10 и
9abc, 10, 11 из п. 1.5
и готовьтесь к контрольной работе (30.10-4.11) за 1-й модуль, решая задачи к 10.09-22.10.
К 5.11: 4.6.9ab*, 4.9.5a, 4.9.6ab, 5.11.1abc, 5.13.2a*b*, 5.13.3ad, 5.14.1a*bde.
К 12.11: 4.9.6cd, 5.13.3b, 5.13.4ab и 1afg, 3ab, 2(=>), 4 из п. 5.14 и 4.11.4ab, 4.11.3* (M=T) и
К 19.11: 4.4.6e, 5.11.4, 5.11.5ab, 5.13.4c, 5.12.7ab* (without `deformation').
К 26.11: 4bc, 5ab, 6 из п. 5.13 и 5.11.3, 5.11.2b,
5.12.7ab, 5.12.8ab* (without `deformation'), 5.14.1g, 5.14.2(=>),
5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), [S20, 11.7.6b].
К 3.12: 4bc, 5b, 6 из п. 5.13 и 5.11.2b, 5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod
the analogue of 5.14.2), 5.12.7a*b*, 5.12.8ab*, 1.5.12, 5.11.5c, 5.13.5c, 4.9.1c,
4.9.6e и [S20, 11.7.6b] и по arXiv:math/0604045:
Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d for m=n+2=3.
К 10.12: 5.13.4bc, 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.1c, 4.9.6e и [S20, 11.7.6b] и
5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7).
По arXiv:math/0604045:
Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d* for m=n+2=3.
К 17.12: 5.4.4, 5.7.1a, 5.13.4bc (hint:
Remark 1.5.5.c), 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.6e, 5.8.2d (d=2k=4;
подсказка в \S7), 4.7.4h*,
Remark 1.5.5.c,
Lemma 2,
Theorem 1.9 for k=r=2 (hint: Remark 3.1.c),
Example 5.7.a for l=1.
И теоремы Уитни о вложимости n-многообразий.
К обсуждению 25.12:
1abcdef, 2abcd*, 3ab*c*d*e*, 4ab*c* из п. 5.15.
Аннотация и программа части 1, 2017.
Аннотация и программа части 1, 2015.
Похожий на часть 1 спецкурс на матфаке ВШЭ,
2013.
Аннотации и программы похожих на часть 1 курсов
<<Кратные пересечения в геометрической
топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии>>, НМУ, осень 2018, и
<<Топологическая гипотеза Тверберга:
комбинаторика, алгебра и топология>>, НМУ, осень 2016.
См. также:
Санкт-Петербургская заочная олимпиада по
топологии.
А.А. Ошемков, А.Б. Скопенков,
Студенческие олимпиады по геометрии и топологии, Матем. просв. 11 (2007) 131-140.