Contacts: s*open*o@mccme.ru, *:=k. Пожалуйста, направляйте пожелания и замечания Аркадию Борисовичу Скопенкову, s*open*o@mccme.ru, где *=k.
Тот, кто упражняется в дао, ежедневно теряет что-то из его внешнего, ложного блеска. (Чжуан-цзы, см. сноску 4 в в заметке)
The principle is this: that in everything worth having, even in every pleasure, there is a point of pain or tedium that must be survived, so that the pleasure may revive and endure. The joy of battle comes after the first fear of death; the joy of reading Virgil comes after the bore of learning him; the glow of the sea-bather comes after the icy shock of the sea bath; and the success of the marriage comes after the failure of the honeymoon. All human vows, laws and contracts are so many ways of surviving with success this breaking point, this instant of potential surrender. In everything on this earth that is worth doing, there is a stage when no one would do it, except for necessity or honour... The whole aim of marriage is to fight through and survive the instant when incompatibility becomes unquestionable. (G. K. Chesterton, What's Wrong With The World)
- `It's too difficult.' - `Write simply.' - `That's hardest of all.' (I. Murdoch, The Message to the Planet)
And the leap is not - is not what I think you sometimes see it as - as breaking, as acting. It's something much more like a quiet transition after a lot of patience and - tension of thought, yes - but with that [enlightenment] as its discipline, its orientation, its truth. Not confusion and chaos and immolation and pulling the house down, not something experienced as a great significant moment. (I. Murdoch, The Message to the Planet)
The modern world is full of theories which are proliferating at a wrong level of generality, we're so good at theorizing, and one theory spawns another, there's a whole industry of abstract activity which people mistake for thinking. (I. Murdoch, The Good Apprentice)
См. также эпиграфы к главам в книге.
Q: Можно ли сдавать задачи, заданные на предыдущие занятия?
A: Из нужно решать и обсуждать с участниками курса, ибо их правильные решения нужны для
понимания дальнейшего материала и
успешного написания контрольных и экзаменационных работ.
Напрямую за них баллы не ставятся.
Q: Будет ли видеозапись занятий?
A: Против видеозаписи я не возражаю, но она не всегда ведется.
Изучение книги, самостоятельное решение домашних задач и их обсуждение полезнее просмотра видео.
Коллегам. Буду благодарен за Ваше мнение о своих курсах и стиле преподавания. По моему мнению, публичное профессиональное обсуждение разных стилей преподавания способствует развитию науки и образования. Традиция таких обсуждений восходит к Лао Цзы и Платону и продолжена, в частности, Д. Майером, П.Л. Капицей, Н.Н. Константиновым, В.И. Арнольдом и А.Х. Шенем (см. публикации выше). По моему мнению, закулисные административные обсуждения разных стилей преподавания вредят развитию науки и образования, а также ухудшают репутацию соответствующей администрации. Отзывы преподавателей (выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные).
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ -
просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться.
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.)
К 6.09: 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из
[S20].
Прочитайте первую фразу в п. 2.2.
Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии).
Посмотрите мультфильмы про тор и
Cutting a Moebius strip in half (and more).
Попробуйте программу A polygonal
line avoiding an obstacle.
К 13.09, Наглядные задачи о поверхностях. Применения неравенства Эйлера:
2b, 3b, 4ab, 5*(две) из п. 2.2 и 2cd*, 3abc, 5c, 1ab из п. 2.3 и 1ad*, 2, 3a из п. 2.4 (в 2.3.5с и 2.4.3a
используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 1ca*, 2ab, 6b' из п. 1.4 и 1.5.1*.
Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1.
Попробуйте программу
Boundary circles of disc
with ribbons.
К 20.09, Доказательства формулы Эйлера для плоскости и неравенства Эйлера для поверхностей:
2сd, 5, 6ab, 4, 3ba*, 7a* из п. 1.4 и 1.3.3c (далее используйте без доказательства),
1.3.3d, 2.2.5* и 3b (только K_{5,4}), 4a, 6ab, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства
неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.5.1bc (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.1de и
из [S, п. 1.3]: 5a*.
Определения плоского графа и его грани можно найти в п. 1.3 (или в Википедии). Посмотрите
мультфильм `Euler's Formula and Graph Duality'.
К 27.09, Утолщения. Краевые окружности. Гомеоморфность поверхностей: 1.5.2abcd, 1.5.3aa'bc*,
2.3.4, 2.5.2ab, 2.5.3a, 2.7.1a, 2.7.2abd, 2.7.3a, 1.6.1ad*e*, 1.6.2a*b*, 2.4.8b*, 2.4.7* и из
[S, п. 1.3]: 6a*.
Посмотрите мультфильм про крендель и про
сферу с ручками.
2.8.3(a) Нарисуйте на диске с~$m$~лентами Мёбиуса $m$~замкнутых несамопересекающихся попарно
непересекающихся кривых, объединение которых не разбивает его.
2.8.5(a) Лента Мёбиуса с~ручкой гомеоморфна ленте Мёбиуса с~вывернутой ручкой.
К 4.10: 1.6.4ac, 1.6.5, 2.7.3b, 2.7.5, 2.7.6ab*, 2.7.7abc, 2.8.1a, 4.6.3abcdegi*, 5.2.2,
5.2.3ab, 5.3.2abc, 1.6.1f*g*, 1.6.3(bI)*(bE)*a*, 1.1.2*, 2.5.1d'*, 2.7.2c*, 2.8.1d*, 2.8.3a*, 2.8.5a* и
из [S, п. 1.3]: 6b*.
Посмотрите мультфильмы Real projective plane and
Moebius strip, The cross-cap* и
Moebius strip and Cross-cap*.
Готовьтесь к контрольной работе на 15-20 минут, прорешивая задачи и прочитав типичное пояснение
(а дальше уж и без предупреждения).
К 11.10: 5.4.2ab, 5.4.3a, 5.4.1abcde, 5.4.1ghi, 5.4.3b, 5.5.1ab, 5.2.3d, 5.3.3 (используйте
без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d), 5.3.1a, 5.7.1abcd, 5.7.2a, и
1b*c*, 2a*b*a'*b'*, 3a*a'* из п. 2.6.
К 18.10: по [S]: 1, 2, 3a, 4 из п. 4.1 и
1ab, 2ab, 3b из п. 4.2 и 4.3.1abc (for the case when the vertices are in general position)
и по [S20]: 3a'*b*, 4a*b*c*d*, 5(bE)*a*, 7a*b*, 8(bE)*a* из п. 2.6.
К 25.10: по [S]: 4.3.2, 4.3.6a*b*
(for the case when the vertices are in general position), 1.3.3, 1.5.9 и 1, 2abcdef, 3, 4a* из п. 4.4 и по
[S20u]: 1.1a, 1.3, 4.1, 2.1a и по [S20]: 2.6.5(bI)*,
2.6.8(bI)*.
Посмотрите первую часть лекции и
вторую часть рекламы.
К 1.11: По [S20u]: 1.1ab*c, 2.1b*c, 3.2, 3.3, 4.2,
6.1abcde, 6.2*, 6.3.a*, 5.1a*b*, 5.2a*b* и по [S20]: 1, 2abc, 3ab, 4ab* из п. 3.2 (в 4ab* примеры без
доказательств) и [S, 4.4.4a*].
К 8.11: 3.2.2d, 3.2.3cd, 3.3.1ab и 1, 2ab, 3abc, 4a, 5ac, 6ab, 7ab* из п. 3.4 и 2.6.6*, 2.7.6b*,
2.7.8a*b*с* и [Sk14, 2.4a*b*, 1.2*].
Посмотрите мультфильм о векторных полях.
К 15.11: 3.2.3d, 3.4.4bc, 3.4.5a и 1a*bcdf, 2bcde, 3abc*, 4cde*, 5ab из п. 3.5 (доказывайте непрерывность,
приводя формулу \delta(\epsilon)=...) и 2.7.8c* и
[BMS, 5.1*, 5.2*, 5.3.a*b*c*]
и [Sk14, 1.5*].
Попробуйте программу
Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
К 22.11: 3.5.5bcd, 3.1.5abcd*e, 3.6.1abcd, 3.6.2, по 3.6.3 укажите минимальные импликации
между 3.3.1c, 3.4.5b, Re, которые Вы доказали (минимальность означает отсутствие
тех импликаций, которые получаются по транзитивности), 2.7.8c*, 2.7.9a*b*, 5.4.4b*c*d*, 5.4.5*,
[Sk14, 1.5*].
2.8.2(a) Пусть на ленте Мёбиуса нарисован без самопересечений связный граф с~$V$ вершинами
и~$E$ ребрами, не пересекающий краевой окружности. Обозначим через~$F$ число граней. Тогда $V-E+F\ge1$.
(b)~Граф~$K_7$ не реализуем на ленте Мёбиуса.
К 29.11: 2, 3Sp(докажите), 3 (нарисуйте граф с вершинами 3.1.2, Re, Sp, RePL*, BrPL*,
Br\epsilon*, и ребрами - минимальными импликациями, которые Вы доказали; минимальность означает отсутствие
тех импликаций, которые получаются по транзитивности; импликации, включающие RePL, BrPL и Br\epsilon, со *),
4 (отчет по 4 аналогичен 3, вершины - 3.1.3 и b,c,d) из п. 3.6 и 3.7.1abcd, 3.7.2abc, 3.8.1ac, 5.4.5*,
5.7.3a*, 2.7.8c*, 2.8.2a*b* и [Sk14, 1.5*].
Посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике.
Посмотрите кино о теореме Борсука-Улама и
короткометражку о гомотопии.
К 6.12: 3.7.2cd, 3.8.1c, 3.9.1abcd, 3.9.2a'a''acd (четко сформулированные версии леммы о
поднятии гомотопии 3.9.2b можно использовать без доказательства тому, кто доказал лемму о поднятии пути
3.9.2a''), 3.9.3a, 3.1.2, 3.6.3.Re,Sp (докажите), 3.1.3, 3.6.4bcd (докажите), 3.3.1c, 3.4.5b, 5.7.3a*,
3.11.2a*b*c*, 3.11.3a*b*c*d*e*, 3.1.7a* и [Sk14, 1.5*].
Посмотрите первую половину немого кино о накрытиях.
К 13.12: (лемму о поднятии гомотопии 3.9.2b уже нельзя использовать без доказательства)
3.8.1b, 3.9.2b'be, 3.9.3bc, 3.9.4ab*, 3.1.3, 3.1.4b, 3.10.1abс, 3.10.2, 4.2.1, 4.2.2, 3.11.1a*b*, 3.1.1*,
3.1.5f*, 3.1.6*, 3.1.7b* и [Sk14, 2.8*, 1.5*, 2.9*].
К экзамену 9.1 (повторение + по лекции 13.12; можно обсудить на необязательной консультации;
предложения по ее времени, согласованные со студентами, просим старост прислать не позже, чем за 3 суток
до самого раннего предложения):
3.7.2d, 3.8.1c, 3.9.2ab, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4b, 3.6.3.Re,Sp (докажите), 3.6.4bcd (докажите),
3.10.1abс, 3.10.2, 3.10.3a*b*, 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3b*, 4.1.1a, 4.3.1abcd,
4.4.1a*, 3.11.1a*b*, 3.11.2b*, 3.11.3b*c*d*e*, 3.1.1*, 3.1.5f*, 3.1.6*, 3.1.7a*b* и
[Sk14, 2.8*, 1.5*, 2.9*]
Экзамен 9.1 (3 курс 20.12) состоит из письменной части (10.00-10.30 для всех) и устной части
(10.35-11.35; возможно, часть студентов без * будет приглашена на 11.35-12.35; эти 60 минут на все -
подготовку, ответ, заслушивание объяснений экзаменатора, что и почему неправильно).
Общие критерии такие же, как на дискретном анализе
(стр. 3) и в
типичном пояснении к контрольной работе.
БУЛЛА экзаменаторам по курсу
<<Введение в топологию>> (ее разрешается посмотреть и студентам).
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ -
просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться.
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.)
К 6.09: 1.1acd, 1.3bc, 1.4ab из
[ADN] и
6.1.2ab*, 6.6.1a, 8.1.1a из [S20].
Для АМ по cyclesg-jour.pdf: 1.1bef, 1.2bcd, 2.2ab, 2.3a*b*c*.
К 13.09: 1ab, 2ab, 3abcd*, 5bd из п. 6.2 и 1bcd, 2ab, 3, 7a, 4abc, 5a, 5b (параллель и меридиан
не гомологичны), 6a (простой цикл в триангуляции замкнутого 2-многообразия гомологичен нулю тогда и только
тогда, когда он не разбивает 2-многообразия), 6b, 7ab (7b верно только для локально евклидовых гиперграфов)
из п. 6.3 (решайте для триангуляций, а не для клеточных разбиений) и 6.1.2b и по cyclesg-jour.pdf:
1.4b и 1abc, 2a, 3ab, 4 из \S3.
Для АМ по cyclesg-jour.pdf: 1.2d, 2.1ab*c*, 2.2abc*, 4.1abc (mod т. Кюннета 3.7), 4.2*.
К 20.09: 6.3.7b* (контрпример для не локального евклидовых гиперграфов), 6.3.8abc, 6.4.1abc,
6.4.2a, 6.4.3* и 1abc, 2, 3a*, 4ab, 5ab из п. 6.5 (решайте для триангуляций, а не для клеточных
разбиений) и по cyclesg-jour.pdf, \S3: 6.a1,a2,b, 8, 7.a1,a2,b.
Для АМ по cyclesg-jour.pdf: то же, что к 13.09, плюс 4.3a-f,a'-f'.
К 27.09: 5.9.1ac (по эл. версии), 6.5.3ab, 6.5.6a, 6.7.1a' (пересечение ребра \sigma и
ребра \tau^*, двойственного к ребру \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 6.7.1abc и
по cyclesg-jour.pdf: прочитайте решения задач 1.1 и 1.4, решите 1.1.f, 3.8, 5.1abcdeg, 7.1.
Для АМ по cyclesg-jour.pdf: то же, что к 20.09, плюс 8.1abc, 8.2.abcd.
К 4.10: 1d(определите <<естественные>> отображения $f$ и $f^*$), 2abc, 2d (форма пересечений
симметрична), 3a(достаточно нестрогих рассуждений)b*, 4, 5abcd*ef, 6 (используйте без доказательства
утверждение 6.7.5d для других утверждений) из п. 6.7 и 2.2.5d*, 5.9.1b*d* (по эл. версии), 6.6.2, 6.6.1b* (достаточно нестрогих
рассуждений) и по cyclesg-jour.pdf: 5.1.f*, 5.3ab*c*d*, 5.4ab, 7.2ab, 7.3ab, 7.4, 7.5ab, 7.6a*b*
Для АМ по cyclesg-jour.pdf: то же, что к 27.09, плюс 4.4a-g.
К 11.10: 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали), 3(равносильность),
6abcde, 7abc из п. 8.1.
К 18.10: 2(3.7.2d), 7cde, 5ab, 4*, 6f* из п. 8.1 и 1abcd, 2, 3abcde, 4, 5abc,
6acd из п. 8.2. Утверждением 8.2.6b можно пользоваться в других задачах без доказательства.
К 25.10: 2(3.7.2d), 3(доказательство), 5b, 4* из п. 8.1 и 2*, 5b, 6abcdef, 7, 8 из п. 8.2 и
8.3.2ab*, 4.5.2c, 4.6.3i, 4.7.1abcdei,
8.4.1abc, 8.4.2 (4.5.1abcdf, 4.5.2a; напишите номера задач, аналоги которых сделали).
Утверждением 8.2.6b можно пользоваться в других задачах без доказательства.
Кo 2.11: 8.2.6b, 4.5.1f, 4.5.2b (см. определение в конце п. 2.1), 4.5.3*, 4.7.2
(предполагая корректность) и 1abc, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 4.6.1 и 1de (см. определение сферы с ручками в
п. 2.1), 2(4.5.3*, 4.6.1), 3a(гомеоморфность)*(подмногообразие) из п. 8.4 и 8.6.1ab, 8.6.2ab.
Теоремой 8.3.1a можно пользоваться в других задачах без доказательства.
К необязательной консультации 4.11 (ориентировочно 13.55-14.10 разбор базовых задач, 14.10-14.25
разбор основных задач, 14.25-14.40 разбор сложных задач, 14.40-15.10 новый материал):
К 9.11: 8.2.6b, 4.5.2b (см. определение в конце п. 2.1), 4.8.2c, 8.4.1d (см. определение
сферы с ручками в п. 2.1), 8.4.3ab*c*(подмногообразие), 8.4.4c, 8.6.1bcdc'd', 8.6.2cdef* и
2, 1ab, 3ac из п. 8.5 и 1ab, 2a, 3abc (по эл. версии) из п. 8.7.
Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства. И посмотрите
мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых),
мультфильм-1 (для детей),
мультфильм-2 (для детей).
К 16.11: 4.5.2b, 8.4.4c, 8.5.3ac и 1b, 2ab, 3abc (по эл. версии), 4a, 5a, 6a*, 7ab из
п. 8.7 и 1, 2ab*, 3ab, 4, 5, 6ab* из п. 9.4 и 9.3.1a, 9.1.1a, 9.1.2ab, 9.2.2abcdef (deg f четно).
Можно пользоваться без доказательства результатами задач 8.7.6abc и эквивалентностью ориентируемости
следующему.
Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную
кососимметричную форму V^n\to R.
Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств
к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N.
В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К зачету 21.12:
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной или
бумажной 2020 года версии книги [S20].
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.
В заданиях используйте без доказательства следующий факт и его обобщения на многообразия
с краем и Z-коэффициенты: if N is a closed smooth n-manifold, P and Q are its closed smooth p- and q-
submanifolds, intersecting transversely, then [P]\cap[Q] = [P\cap Q] \in H_{p+q-n}(N;Z_2)). )
К 8.09: 11.9.2abc*de, 11.9.3abcd*, 11.4.1ab, 11.4.2ab.
К 15.09: прочитайте п. 10.2; 10.3.1a, 10.3.3abc (mod 10.1.7), 10.4.0b (дайте строгое определение
клеточного разбиения, двойственного к триангуляции; подсказка: используйте барицентрическое подразбиение),
10.4.2bd(только для двойственного)*c*, 10.7.0 (пересечение k-симплекса \sigma и клетки \tau^*,
двойственной к k-симплексу \tau, равно \delta_{\sigma\tau}), 10.7.1abcd, 11.9.2bc*de, 11.9.3bcde*.
К 22.09: 10.4.2bd(только для двойственного)c, 10.7.1bcd, 10.7.2ab, 10.8.1ab, 10.8.2ab,
11.4.1ab, 11.4.2a, 11.9.3e* (mod 11.2.3) и 1, 3
(подсказка),
2(своб.части)(кручения)* 6(унимод)* из п. 10.9.
К 29.09: 10.4.0a (дайте строгое определение граней барицентрического подразбиения, ср. п. 5.5),
6.2.3d, 10.4.0b (дайте строгое определение клеточного разбиения, двойственного к триангуляции; подсказка:
используйте барицентрическое подразбиение), 10.4.2d(только для двойственного)c, 10.4.3a,
10.7.2a' (формула Лейбница; подсказка: для граней a\supset b триангуляции опишите грани барицентрического
подразбиения, из которых сосотоит a\cap b*), 10.7.2ab, 10.7.3a, 11.2.2a, 11.9.4, 11.9.5a и 3
(подсказка),
2(своб.части)(кручения)*, 5ab*, 6(унимод)* из п. 10.9.
К 6.10: 10.4.3bcd, 10.9.6(невыр)*, 11.2.3a(своб.части), 11.2.3b(унимод)* и
5bcde*, 6abcc'de, 7, 1a (негомеоморфность S^3 mod 11.4.6a), 8abc из п. 11.9 (все mod 11.2.3 и 14.5.7b).
К 13.10: 11.4.2c*, 11.9.1a*, 11.9.1b, 11.9.9* (все mod 11.2.3, 11.4.2c, 11.4.6ab и 14.5.7b)
К 3.11: 10.7.2c*d*, 10.7.3b*, 11.2.2b*c*, 11.4.2b,
и по cyclesg-jour.pdf, \S3
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной или
бумажной 2020 года версии книги [S20].
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.)
Ко 2.09: 1abc*, 2abde*, 3ab из п. 14.4 в бум. версии [S20] и
Definition 2.2 (check that \zeta is well-defined), Remark 3.2 a(well-defined)b по
атласу.
К 9.09: 8.3.2e, 8.8.2d, 14.4.1d, 14.4.2c, 14.4.3cd, 14.6.2 из бум. версии [S20]
(подсказка: [DNF, ч.2, \S23.1]) и
Definition 2.2 (check that \zeta is a homomorphism), Theorem 4.1 (инъективность для p=q и PL случая;
используйте теорему о незаузленности сфер, теорему о конкордантности и изотопии, и лемму о поглощении) по
атласу.
К 16.09: 8.3.2e, 8.8.2d, 14.4.2c, 14.6.2 из бум. версии [S20]
(подсказка: [DNF, ч.2, \S23.1]) и
Definition 2.2 (check that \zeta is a homomorphism), Remark 3.2cd, Theorem 4.1 (инъективность для PL
случая; используйте то же) по атласу и
Theorem 2.6c for closed manifolds and 2m>3n+2
(mod леммы о поглощении).
К 24.09: 14.5.7ab, 14.6.3abc, 14.6.1-1, 14.6.4ab(сюръективность)c из бум. версии [S20]
(подсказка: [DNF, ч.2, \S23.2,3]) и
Definition 2.2 (check that \zeta is a homomorphism), Remark 3.2a(homomorphism) по
атласу и
Theorem 2.6c for closed manifolds (mod леммы о поглощении).
К 28.09: 0 (\Phi не гомоморфизм), 1, 2, 3*, 4*(построить оснащение Понтрягина) по
[DNF, ч.2, \S23.4]
(см. текст) и 8.8.3ab, 14.5.3e,
14.5.9bcdefg, 14.5.10ab, 14.6.4b(инъективность)de из бум. версии [S20] и Lemma 3.4 по
атласу.
К 5.10:
Через гомотопическую топологию к сверхтекучести. Мастер-класс (осень 2018), ориентированный на студентов ФОПФ. Литература: [S, параграф 4] и [S20, параграф 8.7] и [MM95, RSS05] из [S20].
Домашние задания по части 1 для МФТИ (Если источник не указан, то задание по
книге [S].
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов! Окончательны только задания с жирными датами.)
К 1.02: 1.1.1b, 1.1.2, 1.1.3*, 1.7.1ab*, 1.3.2b, 1.3.4ab* из
[S] и
2.4ab из [S14].
К 8.02: 1.1.3*, 1.3.5ab, 1.4.2ab, 4.6.1a, 4.6.2, 4.9.4abc и по
[S14]: 1.2, 2.8, 1.5, 2.9*.
К 15.02: 4.9.4c, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4a* и 1 (используйте без доказательства утверждение 1.4.4b и
теорему Куратовского 1.2.3e), 2, 3ab, 4ab, 5ab, 7 (используйте без доказательства лемму 6), 8 из п. 1.5.
К 22.02: 1.4.4a*b и 1 (используйте без доказательства теорему Куратовского 1.2.3e), 4b, 5ab, 6,
7, 8 из п. 1.5 и 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.1ab, 2.2.3, 2.2.2ab и
[S20, 3.6.2] и по
[KRR]: 1.5abcd, 1.8abcde.
К 1.03:
1.9be, 2.3ab, 2.5a, 2.7a из [KRR] и
[S20, 3.6.2] и 2.2.2b, 1.4.4b и
1 (используйте без доказательства теорему Куратовского 1.2.3e), 6, 7, 8 из п. 1.5 и 1.2.3с
(полиномиальность) и 1a*b, 2abc, 3(3)(12)(22)*(31)* из п. 5.1 (для объяснения реализуемости нужен рисунок,
а не доказательство; для обратного - эвристика), 5.2.1abcd, 5.2.3.
К 15.03: 2.2.2b, 1.2.3с (полиномиальность), 5.1.2abc, 5.2.1bdef, 5.2.3, 5.2.4, прочитайте п.
5.3, 5.4.1abc,e-i,j*, 5.4.2, 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.3ab (используйте без доказательства
теорему классификации), 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 5.5.1 и 5.5.5), прочитайте п. 5.6 и
по [KRR]: 2.5a, 2.7a, 3.5(3)*(3')*.
К 22.03: 5.2.2ab, 5.2.1f, 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.3ab (используйте без
доказательства теорему классификации), 5.14.3a, 5.5.4b (для k=2; используйте без доказательства 5.5.1 и
5.5.5) и по [S20], по бум. версии: 8.1.6abcdef,
8.1.7abcde; по эл. версии: 8.1.7a и 1abc (в задаче 8.1.6abc бум. версии), 2, 5abcde (в задаче 8.1.6abcde
бум. версии), 8abcde (используя корректность) из п. 8.3.
К 29.03: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.3b, 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2) и по эл.
версии [S20]: 3.7.2bc, 8.1.5cba (используя 8.3.7d
и 8.3.8f без доказательства), 8.1.4 и 5e (в задаче 8.1.6e бум. версии) 6, 3, 7abc, 4, 7d, 8cdef из п. 8.3.
К 5.04: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.14.4e (для k=3),
5.5.4b (для k=2), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.13.1 и по эл. версии
[S20]: 6bcd, 3, 7abc, 4, 7d, 8f из п. 8.3.
К 12.04: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.4b (для k=2), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4abc
(для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.13.1, 5.13.2ab, 5.13.4abcd и 1abc, 2ab, 3b, 5abc, 6ac из п. 5.14.
К 19.04: 5.5.1 (топологическую вложимость), 5.5.1*, 5.5.4b (для k=2; используйте без
доказательства 5.5.1 и 5.5.5), 5.5.6d, 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.6b,
5.14.4abcde, 4.8.1a, 4.8.1b (только 1<=>1'), 4.8.2a, 5.8.5a.
К 26.04: 5.7.1, 5.7.4c (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bcde, 4.8.2a* и 5bcd, 4, 6 из п. 5.8
для k=2, 1.5.9abc, 1.5.10, дочитайте п. 1.5.4.
К 3.05: 5.7.1, 5.7.4c (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bcde и 5d, 4, 6, 7, 2 из п. 5.8 для
k=2, 1.5.10, 5.9.1abc, прочитайте п. 5.9, 7.1.1ab*, 7.1.2abc, 7.1.3abc*.
К 10.05: 5.7.3, 6.2.2, 5.8.4 (для k=2), 5.8.6 (для k=2), 7.1.2bc, 7.1.3ab, 1.6.4abcd, 7.2.1ab,
7.2.2abcd, дочитайте п. 7.2.
По [S22]: 4.1.3.
К дифф. зачету 17.05: 5.7.3, 6.2.2, 5.8.6 (для k=2), 5.8.7 (для k=2), 5.8.2 (для k=2), 5.9.1bc,
5.14.4de, 7.1.1b*, 7.1.3c*, 7.2.2bef*, 7.2.3a*.
По [S22]: 4.1.3, 2.2a (используйте без
доказательства 2.8.8c), 2.1a.
Следующие задачи принимаются только у тех (и засчитываются только тем), кто сдал не менее 90% задач без
звездочек из предыдущих; предыдущие или их можно сдать 24.05, договорившись о дистанционном занятии.
По [S20]: 1.5.1, 2.6.5bI,
2.8.8c (используйте без доказательства теорему
классификации) и 2, 3a (\Sigma(f) - объединение отрезков), 3b, 4ab, 5abc, 1 из п. 6.8.
Домашние задания по части 1 для НМУ (Если источник не указан, то задание по
книге [S].
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов! Окончательны только задания с жирными датами.)
К 10.02: 1.1.1b, 1.1.2, 1.1.3*, 1.3.2b из
[S] и
2.4.ab, 1.2* из [S14].
К 17.02: по [KRR]:
1.3, 1.8abcde, 1.9be и по [S14]: 1.2, 2.8, 1.5.
К 25.02: 2.8 (без перебора), 1.5 из [S14] и 1.5abcd,
2.3abc, 2.4, 2.5ab, 2.6, 2.7ab из [KRR] и
1.3.5ab, 4.6.2, 4.9.4b.
К 3.03: 2.3bc, 2.5a, 2.6, 2.7a, 3.7bcd, 3.8ab, QSD(4)* из
[KRR] и
1.3.5ab, 4.6.2, 4.9.4bc, 1.4.2ab, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4a, 1.5.1 (используйте без доказательства
утверждение 1.4.4b и теорему Куратовского 1.2.3e), 1.5.2, 1.5.3ab.
К 10.03: 2.7a, 3.7d, 3.8b из
[KRR] и 1.3.5b, 4.9.4bc, 1.4.1, 1.4.4ab и
4ab, 5ab, 7 (используйте без доказательства лемму 6), 8 из п. 1.5 и 2.2.1ab, 2.2.3.
К 17.03: [KRR, 3.7d] и
[S20, 3.6.2*] и
1.5.6, 1.5.7, 1.5.8, 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.3, 2.2.2ab*, 5.2.1abcd.
К 24.03: [S20, 3.6.2] и 1.4.4b, 1.5.6,
1.5.7, 1.5.8, 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.2b и 1a*b, 2abc, 3(3)(12)(22)*(31)* из п. 5.1 (для объяснения
реализуемости нужен рисунок, а не доказательство; для обратного - эвристика), 5.2.2ab, 5.2.1de, 5.2.3,
5.2.4, прочитайте п. 5.3, 5.4.1ab.
К 31.03: [S20, 3.6.2], 1.5.6, 1.5.7,
1.5.8, 1.2.3с (полиномиальность), 2.2.2b, 5.2.1c'*c''df, 5.2.4, 5.4.1cde*fghi, 5.4.2, 5.5.1a
(топологическую вложимость), 5.5.3a (используйте без доказательства теорему классификации), 5.5.3b,
5.14.3a, прочитайте п. 5.6.
К 7.04: 5.2.1f, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.5.3a (используйте без
доказательства теорему классификации), 5.5.3b, 5.13.1, 5.14.3a, 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2;
используйте без доказательства теорему 5.5.5), 5.7.1, 5.7.2, 5.7.4ab (для k=2), 5.7.5b.
К 14.04: 5.2.1f, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.14.4e (для k=3), 5.5.4b (для k=2;
используйте без доказательства 5.5.1 и 5.5.5), 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 5.7.5b, 5.13.2ab,
5.13.4abcd и 5.14.1abc.
К 21.04: 5.2.1f, 5.5.1a (топологическую вложимость), 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2 и
2ab, 3b, 4de, 5abc из п. 5.14.
К 28.04: 5.7.1, 5.7.4abc (для k=2), 5.7.3, 6.2.2, 5.14.4aa'*bc, 5.14.6abc, 4.8.1a, 4.8.1b
(только 1<=>1'), 4.8.2a, 5.8.5a.
К 12-19.05 (только для АВ): 7.1.1a и по
[S22]: 3.1ac, 4.1, 2.2a(if)(only if)
(используйте без доказательства 2.8.8c),
2.1a, прочитайте \S2-\S4 (кроме стр.5).
К 5-26.05: (то, где есть k, для k=2) 5.7.4c, 5.7.3, 6.2.2, 4.8.2a и 5abcd, 4, 6, 7, 2 из п. 5.8
и 7.1.2abc, 1.6.4abc, 7.2.1a, 7.2.2abc.
Эти задачи принимаются 19.05 только у тех (и засчитываются только тем), кто сдал не менее 80% задач без
звездочек по каждому из пропущенных занятий.
К 26.05 или позже (только для АВ, после прорешивания задания к 5-26.05):
1.6.4d, 7.1.3abc*, 7.2.1b, 7.2.2def*, 7.2.3a*, дочитайте п. 7.2.
26.05 (дистанционно): 17.30-18.00 консультация, 18.00-19.00 экзамен.
Аннотация и программа части 2, 2021.
Литература: [S, параграфы 4, 5, 6], [S16].
Примеры красивых теорем, которые изучаются в части 2: 2.1.5, 2.2.2, 2.3.2 из [S]
Домашние задания по части 2
К 09: Lemma 2.
К 09: 1ab*, 3ab, 4ab, 5ab, 6ab, 7ab, 8a из п. 4.6 и 4.8.4a, 4.9.1a, 4.9.2abcde, 4.9.3bc по
[S].
К 1.10: Classify smooth embeddings into R^5 of S^2\times D^1, (of punctured S^2\times S^1)*,
(of the boundary connected sum of two copies of S^2\times D^1)*;
use without proof that any two embeddings into R^5 of S^2 are isotopic.
К 8.10:
Examples 3.4ab, 3.1abc, 3.2*, 3.3* (use without proof
Unknotting Spheres Theorem 2.3 and isotopy of embeddings S^k\times[0,1] coinciding on S^k\times0 and
having homotopic normal vector fields to S^k\times0)).
Лекционная часть занятия 8.10 (19.00-19.50) совмещена с докладом
"Invariants of graph drawings in the
plane" at
"Selected Topics in Mathematics" online seminar.
К 22.10: 1*, 3, 5 из п. 5.10 по статье.
К 29.10: 4.6.8b*, 4.6.9ab*, 4.9.2c, 4.9.5a, 4.9.6ab и 1, 3, 5, 6, 2 из п. 5.10 и
9abc, 10, 11 из п. 1.5.
К 5.11: 4.6.9ab*, 4.9.5a, 4.9.6ab, 5.11.1abc, 5.13.2a*b*, 5.13.3ad, 5.14.1a*bde.
К 12.11: 4.9.6cd, 5.13.3b, 5.13.4ab и 1afg, 3ab, 2(=>), 4 из п. 5.14 и 4.11.4ab, 4.11.3* (M=T) и
К 19.11: 4.4.6e, 5.11.4, 5.11.5ab, 5.13.4c, 5.12.7ab* (without `deformation').
К 26.11: 4bc, 5ab, 6 из п. 5.13 и 5.11.3, 5.11.2b,
5.12.7ab, 5.12.8ab* (without `deformation'), 5.14.1g, 5.14.2(=>),
5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), [S20, 11.7.6b].
К 3.12: 4bc, 5b, 6 из п. 5.13 и 5.11.2b, 5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod
the analogue of 5.14.2), 5.12.7a*b*, 5.12.8ab*, 1.5.12, 5.11.5c, 5.13.5c, 4.9.1c,
4.9.6e и [S20, 11.7.6b] и по arXiv:math/0604045:
Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d for m=n+2=3.
К 10.12: 5.13.4bc, 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.1c, 4.9.6e и [S20, 11.7.6b] и
5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7).
По arXiv:math/0604045:
Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d* for m=n+2=3.
К 17.12: 5.4.4, 5.7.1a, 5.13.4bc (hint:
Remark 1.5.5.c), 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.6e, 5.8.2d (d=2k=4;
подсказка в \S7), 4.7.4h*,
Remark 1.5.5.c,
Lemma 2,
Theorem 1.9 for k=r=2 (hint: Remark 3.1.c),
Example 5.7.a for l=1.
И теоремы Уитни о вложимости n-многообразий.
К обсуждению 25.12: 1abcdef, 2abcd*, 3ab*c*d*e*, 4ab*c* из п. 5.15.
Аннотация и программа части 1, 2017.
Аннотация и программа части 1, 2015.
Похожий на часть 1 спецкурс на матфаке ВШЭ,
2013.
Аннотации и программы похожих на часть 1 курсов
<<Кратные пересечения в геометрической
топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии>>, НМУ, осень 2018, и
<<Топологическая гипотеза Тверберга:
комбинаторика, алгебра и топология>>, НМУ, осень 2016.
Домашние задания
(если источник не указан, то задание по книге [S];
cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; если не
получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.)
Повторение. По bookeng.pdf: 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n first step.
По `Элементам...' Прасолова: теорема Хопфа 18.9ab, 18.9c (Let f:B^{n+1}\to B^{n+1} be a map such that
f(S^n)\subset S^n. Then \pm\deg(f|_{S^n}:S^n\to S^n) equals to
the algebraic intersection in S^n\times S^n of the graph of f|_{S^n} and S^n\times*, to the sum
\deg_c f of signs of f-preimages of a regular value c of f, and to the algebraic intersection in
B^{n+1}\times B^{n+1} of the graph of f and B^{n+1}\times*).
По parsa_join.pdf: доказательство теорем 1 и 3*, (сообщите замечания по всему тексту)*.
По eliminat.pdf: сообщите замечания по \S1 (до замечания 1.5 включительно) и по \S3 (до теоремы 3.2
включительно); необходимость в теоремах 1.2, 1.3, 1.4; Remark 1.5b;
достаточность в теореме 1.2 для d=n_1+n_2, d-2>n_1,n_2, ориентируемых N_1 и N_2
(можно пользоваться без доказательства тем же, чем в bookeng),
1.2a (under the assumptions of Theorem 1.2 for d=n_1+n_2, orientable N_1, N_2, and
general position map f, the number fN_1\cdot fN_2 equals to \pm\deg_0F, where
F:N_1\times N_2\to B^{n_1+n_2} is defined by F(x,y)=f(x)-f(y)),
1.2b (... and to (fN_1\times fN_2)\cdot\delta_2, for some orientation on \delta_2),
1.2c (... and to the degree of the map \t f:d(N_1\times N_2)\to S^{n_1+n_2-1}, for some orientation on
S^{n_1+n_2-1}), 1.2d (if any of these numbers is zero, then the map \t f is null-homotopic),
1.2e* (for a connected n-manifold N a map dN\to S^{n-1} is null-homotopic if and only if it extends to
N); теорема 3.1 для d=6, N_1=D^2 и N_2=D^3, теорема 3.1 для d=n_1+n_2+1, n_1,n_2>1, ориентируемых N_1 и N_2
(можно пользоваться без доказательства утверждением 1.2e*).
По bookeng.pdf: прочитайте и сообщите замечания по \S1, \S4, \S5 (до теоремы 5.4 включительно),
\S8 (до утверждения 8.4a включительно); 8.3, 8.4a (без незаузленности); (прочитайте \S7 без аппендиксов
и сообщите замечания)*Timur, 8.4.bc (можно пользоваться без доказательства тем же, что в bookeng),
8.1 (existence of an almost embedding), 8.8a (obtain the condition only for disjoint \sigma,\tau), 8.10,
8.8b for d=0, 8.7 for d=0 (using 8.9).
По [S20]: 10.8.1a, 10.8.2a, 10.8.1b, 10.8.2b,
10.9.1, 10.9.5ab, 10.9.2(свободные), 10.9.3, 11.2.2a, 11.2.3a(Z_2)(свободные) (по бум. версии; use without
proof that any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$),
из 11.6, 11.7 (по эл. версии).
По [CS16]: 3.1*.
По [S]: 4.6.6ab, 4.6.7ab, 4.6.9a, 4.6.10abc*, 4.6.10d (прочитайте), 4.6.9bcd*e*, 4.7.4abcdefg*h*,
4.9.6b*, 6.6.2abc, прочитайте и выскажите замечания по формулировкам: 6.6.3.abcd, 6.6.4abcd, 6.6.5ab;
6.6.6abc, 1.6.3ab, 1.6.5ab.
По joinpowers: the `if' part of T 1.3 (using lemmas without proof), 2.1, 2.3 (using 2.5 without proof),
3.1ab, 2.2ab, 2.5a, 3.3*, 2.5b(l=1)b*.
По alg-alm-emb: L3.
Не разобранные темы, входящие в программу курса:
По [S20]: 11.2.3a(свободные), 5.8.1acde.
Any subgroup of $\Z^k$ is isomorphic to $\Z^l$ for some $l\le k$ (start with k=2; use primitive elements).
По [S]: 6.6.6bc, 4.7.5a*, 1.6.3b, 1.6.5ei, 1.6.6acd*, 1.6.7abc.
По bookeng: 2.2ab (PL, (b) for n=2, используйте без док-ва [RS, 3.27] и 1.1,
подсказка), 4.5bdefcag.
По [DS22]: 2.1, 1.10, 1.8, 1.9.
Только следующие темы будут повторены в новом курсе: [S20, 8.10, 14.4],
\S3.
К новому курсу.
По alg-alm-emb. [RS72, \S5; 5.6.ii, 5.8, 5.9]
For every m construct an immersion a_m : R^m \to R^{2m} which is approximately linear outside the unit ball,
and has a single double point
(hint)
Домашние задания осени 2022
18-25.07: [KS21],
по [KS21e]: 2.5.3, 2.5.4abcde
(see definitions before Addendum 2.4.3), [DS22].
К 8-15.08: Th 1.1ab* (=>), Th 1.4* (=>);
C121a mod Th 123, L232, R251: E<=>EH, R252b*.
К 22-28.08: 1.5.6, 5.8.5, 8.5.1abcdef, 8.4.2ab, 8.5.3.
К 18.09.2022: по [S20]: 13.1.1abcd*e, 6.8.2, 6.8.3ab и по [RS72]: 5.2.1, 5.2.3, 5.4*.
Hint to 13.1.1c: Define a map $p_1:D^2\times S^1\to D^2$ by $p_1(z,w)=zw$.
Find a self-homeomorphism $h_1$ of $D^2\times S^1$ such that $\pr_1 h_1 = p_1$.
Пересмотрите мультфильм про отображение Хопфа.
К 24.09: 8.3.6cd, 8.5.2abcd, 8.3.4a и по [RS72, \S5]: 2.1, 2.3, 4* (без Addendum) и по [S20]:
6.8.3a, 13.1.1c, 10.6.1, 10.6.2ab, 10.6.3ab, 10.6.4ac.
Ко 2.10: по [S20]: 10.6.4acd, 11.2.1abc (G=Z_2), 11.3.1abcd, 11.3.2abcd, 11.3.4ab (далее
используйте 11.3.3 без док-ва) и по [S]: 5.14.4c, 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
К 9.10: по [S20]: 6.8.4ab, 11.2.1cd (G=Z_2), 11.3.2d, 11.3.3
и по [S]: 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72]: 5.4*.
К 16.10: по [S20]: 11.2.1c (G=Z_2) и по [RS72]: 5.4, 5.4.Addendum*, 5.5
(
сильная теорема Уитни о вложении для PL случая; используйте 3.27 без док-ва).
К 23.10: [RS72, 5.4, 5.4.Addendum*Emil], [S, 8.3.4f*Timur],
[Sk06, Lemma 4.3].
К 30.10: [RS72, 5.4.Addendum for M=R^m], [Sk06,
Lemmas 4.2 and 4.3], [S, 5.9.2a], [S20, 6.8.3b, 6.8.4ab],
[Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n},
11.2, 11.3, for strong g.p.: 11.4]*Emil.
К 6.11:
По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint:
Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a
для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage
of a regular neighborhood is a regular neighborhood).
[S20, 6.8.5abcd, 6.8.6, 9.8.7abc, 9.9.2a для k=2 и j=0, j=1*]; далее используйте 9.9.2a без док-ва.
From EmbedsE.pdf: L3 mod L4 for i=n-1, L3 mod L4.
[S, 5.9.3, 5.9.2a]
[Sk06, Lemma 4.2] (используя [RS72, 5.12.1] без док-ва),
[RS72, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava,
[Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.:
11.4]*Emil.
К 13.11:
По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for r=2=k (hint:
Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.9.2a
для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage
of a regular neighborhood is a regular neighborhood).
[S20, 6.8.5cd, 6.8.6*, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a].
По [S]: 4, 5ab, 3, 2a из п. 5.9 и 4.6.8ab*Emil.
[Sk06, Lemma 4.2] (всюду используйте [RS72, 5.12.1] без док-ва),
[RS72, 5.10, 5.14, 5.15, 5.12.1 + 5.16 for p,q>2, mod lemmas and 5.6]*TimurSlava,
[Hu69, Lemma 11.1 for W the complement to some (m+n)-balls in D^{m+n}, 11.2, 11.3, for strong g.p.:
11.4]*Emil.
К 20.11:По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9
for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1, Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог
теоремы 5.9.2a для почти-вложимости; use without proof the Local Disjunction Theorem 1.9, and `the preimage
of a regular neighborhood is a regular neighborhood').
[KS21e, Theorem 1.3.1a],
(any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost
embedding whose restriction to any simplex is an embedding),
[Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3],
[S20, 9.9.2a для k=2, 9.9.2a], [S, 4.6.8b*],
К 27.11: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9
for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1;
[KS21e, Theorem 1.3.1a],
(any almost embedding from a 3-complex to a 1-connected 6-manifold is homotopic to an almost
embedding whose restriction to any simplex is an embedding); [S, 4.4.7a];
[Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1],
Theorem 2.1.b mod Lemmas 3.1 and 3.2, Lemma 3.2 mod Lemma 3.3 for i=n-1, for i\le n-1,
[RS72, 5.12.1 for p,q>2 mod lemmas]*Timur,
К 4.12: По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9
for r=2=k (hint: Remark 3.1.c), for r=2\le k-1; [S, 4.4.7a];
[Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1,
8.1 for m=2n first step],
К 11-18.12 и к повторению в январе 2023: [S, 4.4.7a],
[Sk06, 8.2, 8.1 for m=2n+1=3, 8.1 for m=2n+1, 8.1 for m=2n
first step, 8.3], [S20, 14.6.4 a (только корректность) b (только эпиморфность; подсказка: Фоменко-Фукс,
п. 10.1)],
Theorem 2.2.b*Timur,
5*Emil.
[Hu69] J. F. P. Hudson, Piecewise-Linear Topology, Benjamin, New York, Amsterdam, 1969.
[HH63] A. Haefliger and M. W. Hirsch, On existence and classification of differential embeddings,
Topology 2 (1963), 129--135.
[RS72] C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to Piecewise-Linear Topology, Springer, 1972.
(К. П. Рурк и Б. Дж. Сандерсон, Введение в кусочно-линейную топологию, Москва. Мир. 1974.)
[RS99] D. Repovs and A. B. Skopenkov. New results on embeddings of polyhedra and manifolds
into Euclidean spaces, Russ. Math. Surv. 54:6 (1999), 1149--1196.
[Sk16c]
Embeddings in Euclidean space: an introduction to their classification.
Примеры красивых теорем, которые изучались ранее: [S20, пункты 9.1, 11.1, 12.1, 16.1].
John Milnor: Spheres.
По [S20]: 5ab, 6, 7ab, 9abcdef из п. 14.5 и 4a, 5b*, 6, 7abce, 8c из п. 15.1 и 1, 2 (эвристика), 3a
(разберите доказательство), 5ab, 4 из п. 15.2 и 1ab, 2a, 3, 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 5, 7ab, 4, 2
(разберите доказательства) и 2d, 3ab из п. 9.4 и 9.5.1 (подсказки: п. 9.6, 9.7) и 1abcdfg, 2abcd, 3abcdfg,
6a, 7abc, 8abcd* из п. 9.8 и 2ab, 3, 4, 1, 5ab*, 6a из п. 9.9 и 2.1, 3.1, 2.2a, 4.1, 2.2b, 2.3ab (без
вложений), 2.2c, 5.1a из \S12.
Unknotting Theorem 2.4
Докажите (для PL случая)
the Penrose-Whitehead-Zeeman Theorem 6.1; сформулируйте свойства регулярных окрестностей, используемые
в доказательстве [RS99, \S8]; from now on use without proof [RS99, Engulfing Lemma 8.1].
[HH63, Theorem 3.1.a].
From now on: use the Smale-Hirsch theorem 15.3.6 without proof.
Theorem 6.5 (подсказка: Lemma 2.2.W_0').
По атласу.
[RS72, 7.12, 7.13, 7.14]
НМУ, весна 2013:
аннотация и программа (в окончательную программу вошли пункты 1,2,4,5,6),
видеозаписи лекций.
НМУ, осень 2013:
аннотация и программа,
видеозаписи лекций.
НМУ, осень 2015: аннотация и программа.
Аннотация и программа.
В окончательную программу вошли пункты 1-7 и 12, 13 предварительной программы.
О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 9-16.09).
Как ставится оценка за экзамен/зачет?
Литература: [S20, параграфы 1-5],
[S, параграфы 1, 4],
[CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89].
Успехи студентов.
Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7,
3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из
[S20]
и 1.2, 1.5 из [S14].
Домашние задания (Если источник не указан, то задание по
электронной версии книги [S20].
Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке НМУ -
просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться.
Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!
Окончательны только задания с жирными датами.
Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.)
К 9.09. 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из
[S20].
Прочитайте первую фразу в п. 2.2.
Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии).
Посмотрите мультфильмы про тор и
Cutting a Moebius strip in half (and more).
Попробуйте программу A polygonal
line avoiding an obstacle.
К 16.09. 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2c, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 (в 2.3.5с используйте без
доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.4.1a, 1.4.1ca.
Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1.
Посмотрите мультфильмы про крендель и
сферу с ручками.
К 23.09. 3c, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3a, 4a из п. 2.4
(используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a).
Видео лекции.
К 30.09. 2.3.1b и 6a, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство
Эйлера 2.5.3a) и 1c, 2abcd, 5, 6ab'b, 4 из п. 1.4.
К 7.10. 1.4.2cd, 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.1abcde
(формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2ab, 2.7.2ab.
К 14.10. 2.5.1abcde (формулировка + нестрогое обоснование), 2.5.2b, 2.5.3a и
1a, 2bd, 3ab, 5 из п. 2.7.
К 21.10. 1, 2abcd, 3aa'bc* из п. 1.5 и 1.6.1abd.
Занятие 21.10 не обязательное. Оно состоялсь в 18.10-19.40 в виде
доклада на научном семинаре лаборатории алгебраической топологии и приложений на ФКН ВШЭ:
A quadratic estimation for the K\"uhnel conjecture
(S. Dzhenzher and A. Skopenkov).
К 28.10. 1fg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6.
К 4.11. 1.5.2d и 1abdfg, 2ab, 3a,bI,bE, 4abc, 5 из п. 1.6 и 1.1.2, 2.5.1e,
2.5.2b, 2.5.3a, 2.6.1bc, 2.6.2aba'b', 2.6.3aa', 2.7.2d.
К 11.11. 1.1.2, 2.5.1e, 2.5.2b, 2.5.3a и
2ab, 3aa'b, 4abcd, 5(bE)a, 7ab, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc из п. 2.7.
К 18.11. 3aa'b, 4cd, 5(bE)a(bI)*, 6*, 7ab, 8(bE)a(bI)* из п. 2.6 и
7c, 8bac*, 9bac* из п. 2.7 и 2.4.5, 4.6.3abc, 5.2.2, 5.2.3ab.
Задачи со звездочкой принимаются только у того, кто сделал более 3/4 задач без звездочки к данному занятию.
К 25.11. 1.5.3c и 5(bE)a, 8(bE)a из п. 2.6 и 2d, 6ab, 7abc, 8ba, 9ba из п. 2.7 и 2.4.5,
4.6.3degi*, 5.3.2abc, 5.4.2ab, 5.2.3d.
Ко 2.12. 2.8.1acd, 2.8.3a, 5.3.2bc, 5.4.2ab, 5.4.3ab, 5.4.1a-i, 5.4.4abc, 5.2.3d.
К 9.12. 5.4.4de, 5.4.5, 5.5.1abc, (далее используйте без доказательства утверждения
2.7.7ab и 5.5.1d), 5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.7.1abcd, 5.7.2ab, 5.7.3a, 5.6.2 (для ориентируемых).
Попробуйте программу
Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
К 16.12. (далее используйте без доказательства утверждения 2.7.7ab и 5.5.1d)
5.3.3, 5.3.1a, 5.2.3d, 5.6.2 (для ориентируемых), 5.7.1c, 5.7.3ac*, 2.8.5abcd*e* и по
[S]: 1, 2, 3b, 4 из п. 4.1 и по
[Sk14]: 2.4ab, 1.2, 2.8, 1.5.
К необязательной консультации 21.12, 17.00:
по [S]: 4.1.4 и 1ab, 2ab, 3b из п. 4.2
и по [Sk14]: 1.2, 2.8, 1.5, 2.9*.
[S20u]: 1.1a, 1.3, 4.1, 4.2.
Экзамен 30.12, 17.30-19.00.
Общие критерии такие же, как в типичном пояснении
к контрольной работе и в
рекомендациях по письменным решениям для
пользователя, см. также на стр. 2-3.
Домашние задания (если источник не указан, то задание по
книге [S20];
бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке;
cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
(cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
11-25.07: Some material from [S, \S8.1-8.4] including 1abc, 4abcd*, 5, 6abcd, 8ab from \S8.3.
К 10.09: 8.10.1a, 8.12.1a, 8.12.2a, 8.1.7a*b* и (по бумажной версии) 9.1.1ab*, 9.1.2ab, 9.2.2c.
К 18.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2cde, 9.3.1ab, 9.3.2ab* и 1, 2ab*c*d*, 4, 5, 3ab, 6ab*
из п. 9.4 (указание: сделайте для триангуляций 6.2.3abc, 6.3.1bcd, 6.3.2ab, 6.3.3, 6.4.1ab).
Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему.
Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную
кососимметричную форму V^n\to R.
Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств
к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N.
В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
К 24.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2de, 9.3.1b, 9.3.2a, 9.4.3b и (трехмерный аналог
задачи 6.1.2b)* и 2ac*, 3abc, 4ab, 5ab* из п. 9.7 и 10.4.1abcd.
Ко 2.10: 9.3.1b, 9.7.4ab, 9.7.5ab*, 10.4.1def, 10.5.1abcd, 10.5.2 (аналог 6.5.4ab).
К 9.10: 10.5.1ef, 10.5.2 (аналог 6.5.5a), 10.5.2g, 6.7.3b, 9.2.2f (deg f четно),
9.2.1 (эвристика) (строгое док-во)*, 9.7.1a, 9.7.5b, 9.1.6.
К 16.10: 8.4.3c, 10.4.2abcd* (в остальных задачах испольуйте 10.4.2d без доказательства),
10.4.1f, 10.4.3abd, 10.5.1f, 9.2.2f (deg f четно), 9.2.1 (строгое док-во), 9.4.6ab*.
К 30.10: 8.4.3c, 8.6.3bc, 10.4.1f, 10.4.3c, 10.6.8 (для dim K=2),
9.2.1, 9.5.1 (без невырожденности).
К 6.11: 8.4.3c
(подсказка),
10.6.8, 10.7.1abcd, 10.8.1ab, 9.5.1 (невырожденность), 9.1.3, 9.1.7c, 9.7.1b*, 9.7.6*.
К 13.11: 10.8.1b, 9.1.7c, 9.7.1b*, 9.7.8ab*cd*, 9.8.1abcdefg (H_1 -> H_3).
К 20.11: 9.7.8c, 9.8.1eg (H_1 -> H_3), 9.8.2abc.
К 27.11: 9.8.1e, 9.8.2abcd, 9.8.3ab*cdef*g, 9.8.6a*-f*.
К 4.12: 9.7.4a, 9.8.2bcd, 9.8.3abdef*g, 9.8.8ab*cd, 9.9.3, 9.9.1
(здесь и далее испольуйте 9.9.2b без доказательства).
К 18.12: 8.6.3c, 9.8.3e' для ориентируемых, 9.8.3e', 9.8.8e, 9.9.3, 9.9.1, 9.9.4*, 9.9.5ab
(далее испольуйте 9.9.5b без доказательства), 9.9.5cd, 9.9.6ad
Для самостоятельного разбора: [S, \S8.5] и 7.1.2ab, 7.1.1ab*, 7.1.7abc, 7.1.7c, 7.2.2, 7.2.5.
Векторные поля на многообразиях и теория
гомологий, НМУ, весна 2021.
3.4.6a, 3.11.1a, 4.1.1a, 4.2.2, 4.3.1a, 4.4.2ab, 8.9.1a* и 2ab, 4abc, 5ac*, 6b, 7a из п. 3.4 и 3.8.1abc
и 1abcd, 2a'a''abb'ce, 3a из п. 3.9 и 1ab, 2abc, 3abc*d из п. 3.11 и 3.7.2ab, 4.2.3b, 4.4.2b и
3.7.2cd*, 3.3.1с, 3.4.5b, 3.10.2, 3.10.4(n=1), 3.11.2b, 3.11.3bce, 3.1.6a, 4.3.1bce, 4.3.2a, 4.1.2a и
3.11.3c, 4.3.2a, 4.1.2ab*, 4.4.1a и 1(c-i), 2abc, 3, 4 из п. 4.5 и 4.6.1, 4.6.3(a-g) и
1abcd, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали) из п. 8.1 и
4.6.2 и 3, 6(a-f), 7(a-e), 5ab из п. 8.1 и 8.2.1(a-d), 8.2.2
(начинайте решать предложенные задачи из параграфа 8 со случая n=2 - там, где он осмыслен)
и 4.7.1(a-h),i*, 4.7.2 и 3(a-f)2*, 4, 5abc, 8 из п. 8.2 и 8.4.1abcd.
и 5abc, 6abcdef, 7 из п. 8.2 и 2, 3abc*(p=3q=3), 4a из п. 8.4 и 8.6.1abcdc'd' (для достаточно мелкой
триангуляции) и 8.6.2abcdef, 8.5.1ab, 8.5.2 и 8.3.2abcde, 8.3.1a и 1ab, 2ab, 3a, 4a, 7ab (используя
корректность 8.7.6) из п. 8.7 (по электронной версии) и 8.8.1abcde, 8.8.2abcd и посмотрите
мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых) и
мультфильм-1 (для детей)
мультфильм-2 (для детей).
и 8.7.3bc, 8.7.4b (по электронной версии), 8.8.2abcd и 4.9.1abc, 4.9.2 и 1abcd, 2, 3a (для m>4), 4ab из
п. 4.10 и 8.5.3abc, 8.6.4a (для m=5,n=3), 8.6.5a, 9.8.7a и 8.6.3abc*, 8.7.6a, 8.8.2abcd, 8.8.3ab, 9.8.7bc.
4.4.6abc*, 4.4.7a, 5.12.1abcd* и
Remark 2a, 1st paragraph и
прочитайте стр. 30-31 и 37.
If $A\subset X$ is a strong deformation retract of $X$, then for any $Z\subset\R^d$
the restriction induces a 1--1 correspondence $[X,Z]\to[A,Z]$.
Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, 2019. Аннотации и программы похожих курсов <<Теория гомологий для пользователя>>, НМУ и МФТИ, весна 2018, и <<Топологическая теория векторных полей на многообразиях>>, НМУ, весна 2016.
Домашние задания для МФТИ
(если источник не указан, то задание по книге [S];
cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
К 1.02: 2.1.4ab, 2.2.1a, 2.2.2a, 2.2.3, 7.1.3a и по
[S20]: 3.1.4b и посмотрите
кино о лемме Шпернера в мат. экономике.
К 8.02: 2.1.3abd, 2.1.5 (mod Barany CCT), 2.1.6*, 2.2.1b, 2.2.2b, 2.3.1abcd, 6.1.1,
6.1.3 (mod Barany CCT), (5.8.4 или аналог для числа Радона), 6.1.2,
(6.2.1 или 6.2.3 при помощи чисел ван Кампена или Радона), 7.1.1ab*, 7.1.2ab, 7.1.3bc*,
(6.2.1 при помощи теоремы Борсука-Улама 5.9.1, которую можно использовать без доказательства), 5.9.1 (d=2).
К 15.02: прочитайте п. 6.1-6.3 и 6.3.7a, 6.4.1abc*, 6.4.2(r=6), 7.1.1b* (для дерева K),
5.9.4abcdef, 5.9.3(равносильность), 5.9.1, 5.3.1, 5.3.2ab, 7.2.2abcd.
К 22.02: 5.5.1ab и 1ab, 6, 7abcd, 8abc* из п. 7.2 и 1, 2(1)-(5), 3ac из п. 7.3 и 7.4.1abc.
К 1.03: (6.3.2b mod 7.3.5 и 7.3.6), 7.2.7ce*, 7.4.1de, 7.4.2, 6.3.2a (для r простого).
По [S20]: 3.2.4ab, 9.2.2ace.
К 15.03: (6.3.2b mod 7.3.5 и 7.3.6), 7.4.1dee', 7.4.2, 6.3.2a (для r простого) и
[KS21, Remark 1.3.C] и по
[KS21e]: Corollary 1.2.1a (mod 1.2.3 and 2.3.2),
Lemma 2.3.2 for M = R^{2k}*, Corollary 1.2.2 (mod 1.2.3 and 1.2.4a), Corollary 1.3.2ab
(mod 1.3.1a, 1.3.4 and 2.1.7), Lemma 2.1.7*, Corollary 1.3.3b (mod Theorem 1.3.4)
и по bipartite.pdf: Lemma 2ab*, Lemma 3ab (mod Lemma 2b*), Theorem 1 (mod Lemmas 3ab and 4)
и по [S20]: 3.2.4b, 9.2.2cef и 1, 2ab из п. 14.1.
К 22.03: по [S20]: 3.2.4b, 10.1.2a,
15.6.4a*bcde, 14.4.2abc*de. Корректностью определения инварианта Хопфа ([S20, 8.7.6]) и его инъективностью
([S20, 8.7.8g, 8.8.2c) можно пользоваться без доказательства в задачах этого и следующих заданий.
Если не получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках
доказательств.
К 29.03: по [S20e]: 1.6, 1.7, 1.9aa'*bb'*, 1.8ab,
1.2, 1.1 и по [S20]: 3.2.4cdefg, 3.2.5ab,
3.10.3abc и 2cdef*g, 3, 4, 5, 6abcd из п. 14.1.
К 5.04: по [S20e]: линейность* и
суперкоммутативность* произведения Уайтхеда, 1.6 для l четного (используя линейность без док-ва), 1.9b и по
[S20]: 3.2.4efg, 3.2.5ab, 3.11.3abcde, 14.1.6cd,
14.1.2i (используйте пояснение и без
доказательства 14.3.2), 14.3.2 (образующие), 14.3.1 (используя без доказательства 14.3.2), 14.1.7c,
14.4.1ab и по [S]: 9.1.1 (прочитайте), 9.1.2abc.
К 12.04: по [S20]: 14.1.6cd, 14.3.2
(образующие), 14.1.2i и 14.3.1 (используя без доказательства 14.3.2), 14.1.7c, 14.4.1ab и по [S]:
9.1.3a*b*, 9.2.1ab, 9.2.2 (прочитайте), 9.2.3ab и 1abcdefghi, 2abc*, 3ac(необходимость)*c*, 5a, 4a из
п. 9.4.
К 19.04: 9.2.1b, 9.4.5ab, 9.4.4ab и 1abcd*, 2ab, 3ba из п. 9.5 и по
[S20]: 14.1.7c, 9.4.6ab, 10.4.2aa,ab,ac,b.
К 26.04: по [S20]: 9.4.6b, 10.4.2c и 2(аналоги 6.5.4ab и 6.5.5ab)g, 3abcd, 6(6.5.1-6.5.3), 7ab,
8* из п. 10.5 и 14.9.1 a(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) b(реализация класса),
14.9.2a (для PL 3-многообразий и отображений; под $S^1$ понимается $S^1_{PL}$; значение PL отображения
называется {\it регулярным}, если оно не совпадает с образом ни одной вершины некоторой триангуляции,
для которой отображение симплициально) и
по [S]: 9.4.6a(необходимость) и 2a, 4, 5* и 6* (для замкнутых PL 3-многообразий) из п. 9.5.
К 3.05: 9.4.6a(необходимость), 9.5.2a и 1ba, 2, 3ab, 4 из п. 9.6 и 9.8.1b(n=2)c(n=2)
и по [S20]: 10.5.2efg, 10.5.7c*, 14.9.1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3)
a(реализация гомологичности для n=3)* c(n>3), 14.9.2a(n=3)d(n=3)*, 14.9.3a(корректность для n=3).
К консультации 10.05: 9.6.4, 9.8.1b(n=2)c(n=2), 9.8.2b(n=3)c(n=3)
и по [S20]: 14.9.1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3)
a(реализация гомологичности для n=3)* c(n>3), 14.9.2a(n=3)d(n=3)*, 14.9.3a(корректность для n=3).
К дифф. зачету 17.05 (15.30-17.20): РДП (или тексты по исследовательским задачам) и
9.8.2b(n=3)c(n=3), 9.8.3 и по [S20]: 3abc (по эл. версии), 5ab, 6a*b*c* (далее 6abc можно использовать
без док-ва), 7ab, 4b, 8abcdefg, 3b (по бум. версии) из п. 8.7 и 14.5.1ab, 14.5.5ab
(подсказка: определение локально-тривиального расслоения в конце п. 13.1) и
1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) c(n>3), 2 a(n=3) d(реализация класса)*,
3 a(корректность для n=3) b(реализация класса для n=4)*c* из п. 14.9.
Для самостоятельной работы (этот материал входил в курсы прошлых лет): по [S20]: 14.7.1ab,
14.9.4a(корректность для n=4)*b(реализация класса)*с* и 1abcde, 2abc, 3a*b* из п. 8.8.
Гомотопическая топология с алгоритмической точки зрения (весна 2020).
Аннотация, программа и литература.
Вводные задачи: 2, 3, 4b, 5c, 6ab из п. 3.1 и 3.10.2, 3.10.3с, 4.3.3b*, 4.4.2ab*, 8.6.2ab* по
[S20] и
посмотрите мультфильм о расслоении Хопфа.)
Далее - то же, что по курсу <<Введение в топологическую комбинаторику>> с 9.03,
по [S]: пп. 5.9, 5.11, 5.12 и по [S20]:
(3.2.3a с доказательством)*, (4.2.4a для заузленных окружностей)* и
10.1.3, 10.1.7*, 14.3.3ab* и прочитайте п. 10.2 и 10.3.1.ab, 10.3.5 и
13.4.2cd*, 13.4.3ab и 5ab, 6a-g, 7a-e из п. 8.1 и 8.2.4a*b*c*, 1a-h, 2a-g, 3, 5e*f*, 6, 7 из п. 8.2 и 8.3.1a*b, 14.9.1ac, 14.9.2a
(для PL многообразий и отображений), 8.7.5a, 8.7.8abc*d*e*.
Утверждениями 8.2.4c, 8.2.5ef, 8.3.1a можно пользоваться в других задачах этого и следующего заданий
без доказательства. И 8.3.1a*b, 8.7.8f*g*, 8.7.4b*, прочитайте п. 13.1, 13.1.1abc, 13.2.1f, 13.4.1 и
13.4.2b (с заменой векторных расслоений на I-расслоения), 13.2.3a*b*, 13.4.2c, 13.4.3ab.
13.4.4a (первая фраза), 13.3.1a*b*, 13.4.4b*c*, 4.1.6.b*, 4.9.2b*,
леммы 6* и 7*; F определен на стр. 8.
См. также:
Санкт-Петербургская заочная олимпиада по
топологии.
А.А. Ошемков, А.Б. Скопенков,
Студенческие олимпиады по геометрии и топологии, Матем. просв. 11 (2007) 131-140.