Курсы топологии в исполнении А.Б. Скопенкова

  • О стиле преподавания (в т.ч. об экзамене/зачете)
  • Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии), ФИВТ, и Основы топологии, ФОПФ+ФУПМ, МФТИ, осень 2022 (и ранее; прежнее название для ФОПФ - Cовременные топологические методы в физике)
  • Введение в топологию для пользователя, НМУ, осень 2022
  • Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий, ФИВТ МФТИ, осень 2022 (и ранее)
  • От векторных полей к характеристическим классам, ФИВТ МФТИ, осень 2022 (и ранее: НМУ)
  • Топология гиперграфов и многообразий в интересных результатах, ФИВТ МФТИ, осень 2022 (и ранее: МФТИ, НМУ)
  • Введение в топологическую комбинаторику, ФИВТ МФТИ и НМУ, весна 2023 (и ранее)
  • Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов-1,2, ФИВТ МФТИ, весна 2023 (и ранее: НМУ)
  • Классификация зацеплений, НМУ, осень 2019 (и ранее)
  • Другие ранее исполненные курсы
  • Алгебраическая топология с геометрической точки зрения
  • Мотивированное и доступное изложение основ топологии
  • Задачи для исследования (студентам и аспирантам)

    О стиле преподавания

    Поэзия

    D. Meyer, Develop a question before answering it.
    D. Meyer, Create a headache before offering aspirin.
    Inquiry-based learning.
    Предисловие в книге Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник, Конкретная математика. М.: Мир, 1998.
    П.Л. Капица, Как следует изучать физику, М. 2020.
    Памятка поступающим в 9й класс 179й школы, от Н.Н. Константинова, Мат. Просвещение 29 (2022) 86-91.
    `Feynman' technique.
    В.И. Арнольд, Новый обскурантизм и российское просвещение, Фазис, М. 2003 (неомракобесие и преподавание математики).
    А.Х. Шень, О преподавании и пр..
    М.Б. Лагутин, Наглядная математическая статистика, к читателю.
    Введение, стр. 7-12.
    Введение, стр. 6-7.
    П. 11.2 и 11.3 главы 11 <<О преподавании>>.

    Тот, кто упражняется в дао, ежедневно теряет что-то из его внешнего, ложного блеска. (Чжуан-цзы, см. сноску 4 в в заметке)

    The principle is this: that in everything worth having, even in every pleasure, there is a point of pain or tedium that must be survived, so that the pleasure may revive and endure. The joy of battle comes after the first fear of death; the joy of reading Virgil comes after the bore of learning him; the glow of the sea-bather comes after the icy shock of the sea bath; and the success of the marriage comes after the failure of the honeymoon. All human vows, laws and contracts are so many ways of surviving with success this breaking point, this instant of potential surrender. In everything on this earth that is worth doing, there is a stage when no one would do it, except for necessity or honour... The whole aim of marriage is to fight through and survive the instant when incompatibility becomes unquestionable. (G. K. Chesterton, What's Wrong With The World)

    - `It's too difficult.' - `Write simply.' - `That's hardest of all.' (I. Murdoch, The Message to the Planet)

    And the leap is not - is not what I think you sometimes see it as - as breaking, as acting. It's something much more like a quiet transition after a lot of patience and - tension of thought, yes - but with that [enlightenment] as its discipline, its orientation, its truth. Not confusion and chaos and immolation and pulling the house down, not something experienced as a great significant moment. (I. Murdoch, The Message to the Planet)

    The modern world is full of theories which are proliferating at a wrong level of generality, we're so good at theorizing, and one theory spawns another, there's a whole industry of abstract activity which people mistake for thinking. (I. Murdoch, The Good Apprentice)

    См. также эпиграфы к главам в книге.

    Проза (о занятиях и экзамене/зачете)

    Сдача экзамена/зачета проходит на занятиях (с первого по последнее) плюс итоговая часть после. Как ставится оценка за экзамен/зачет? Каждое следующее задание делать легче, если Вы разобрались во всех предыдущих заданиях и при этом большую часть решили самостоятельно.
    Перед каждым занятием отмечайте (цифрой 1) в расшаренном гуглшите (excusez mon russe) задачи, решения которых готовы рассказать на занятии у доски после трехминутной подготовки. За 5 минут до занятия я закрываю гуглшит говорю (или пишу в чате /по эл. почте), кто что готовит рассказывать. (Прошу отмечать все задачи к этому занятию, даже если некоторые из них были заданы к прошлому. Если в Вашем списке окажется менее 5 пунктов, то занятие начнется для Вас с самостоятельного решения наиболее простых из домашних задач, и начало пары произойдет позже.)
    На одно из двух последовательных занятий приносите новую версию не засчитанного ранее (письменного) решения для пользователя (РдП), или новое. Полезнее (и выгоднее в плане баллов) присылать версии прежних решений, исправленные в соответствии с замечаниями, а не новые. Новое РдП можно сдавать к любой (на Ваш выбор) задаче из данного или предыдущего задания, не использующей других задач из него же. Рекомендации по решениям для пользователя иллюстрируют содержательные требования. Если наши занятия очные, то я принимаю РдП на бумаге. Если наши занятия дистанционные, то я принимаю РдП по эл. почте в pdf формате (допускающем комментарии). Я не требую распечатки файла, но советую Вам писать в файл (желательно latex), поскольку его легче редактировать (для получения плюса) и включить в электронную версию книги с Вашей фамилией. Я приветствую сдачу в качестве РдП
  • кусочка Вашего текста по мат. практикуму, содержащего формулировки и доказательства;
  • программы по курсу, выложенной на github;
  • мультфильма по курсу, выложенного на youtube.

  • Договоритесь со мной перед тем, как делать эту серьезную работу.
    Типичное пояснение к контрольной работе.
    Дополнительные задачи отмечены звездочкой. Они принимаются (в любом виде: рассказ у доски, РдП) только у того, кто сделал все задачи без звездочки на данный день, кроме, быть может, двух. Обычно они посложнее и потому учитываются с большим весом.
    Указания или решения (или ссылки на них) для многих задач к некоторому занятию приведены на предыдущем занятии (или на лекции по ДА). См. также указания в конце параграфов в [S20, S, S18]. Для задач на лекционный материал или разобранных на прошлом занятии, как и для других задач, ставя себе плюсик, нужно быть готовым рассказать у доски их решения - включая детали доказательств, которые могли не разбираться на лекции/прошлом занятии. Поэтому, если не оговорено противное, то теоремами, доказанными на лекциях, пользоваться без доказательства в решениях нельзя. При этом иногда проще не повторить доказательство лекционной теоремы и использовать ее для решения задачи, а повторить необходимый фрагмент доказательства на примере решения задачи.
    При очных занятиях я готов заниматься по скайпу и электронной почте (только) со студентами, которые вынуждены пропустить по болезни более одного занятия подряд. Но, конечно, я отвечу и здоровому студенту, если письмо допускает скорый ответ или если в нем найден недочет или неясность в домашнем задании.
    При дистанционных занятиях Вы можете показывать тетрадку с наброском решения на камеру и водить по ней ручкой. Или показывать экран своего компьютера и водить курсором по тексту и рисункам. Как и очно, я дам 5 минут на подготовку (но, для большинства задач, не больше). Поэтому нужно подготовить до занятия набросок каждого Вашего решения для показа (но не РдП). Еще Вы можете прикрепить лист бумаги (A4 или больше) к большой твердой поверхности (фанера, столешница или большая книга) скотчем или кнопками (или зубной пастой) и писать на нем фломастером (почти как на доске). Как и на очном семинаре, вопросы по решению задачи я задаю любому участнику. Потренируйтесь рассказывать решения перед семинаром, чтобы решить технические проблемы перед семинаром, а не на нем. Не болейте.

    Критика

    Отзывы о курсе Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии) студентов, его изучавших (выложенные с их разрешения и в основном анонимные).
    Изучающим и изучившим какой-то из курсов
    Дорогой друг,
    Надеюсь, у Вас все в порядке, насколько это возможно.
    Буду благодарен за Ваше мнение, что из курса стоит сохранить, а что желательно изменить. Если Вы уже сдали курс - что из него оказалось полезным для Вашей дальнейшей учебы и работы, что не оказалось, а чего не хватало. Говорите / пишите и о программе-содержании курса, и об уровне-стиле преподавания. По возможности будьте конкретны: по одному-двум Вашим примерам я пойму Вашу общую мысль, а верно проинтерпретировать общие слова может не получиться. Ваши критические замечания ценны, ибо помогут продумать изменения (они не повлияют на Вашу оценку по курсу, если Вы его еще не сдали). То, что нам нравится, мы часто считаем само собой разумеющимся - но не забывайте явно отметить понравившееся, ибо сохранить его может оказаться непросто. Уже имеющиеся отзывы (выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные) могут помочь Вам удачно сформулировать Ваши мысли.
    Вы можете поговорить со мной, или написать мне лично, или (если важна анонимность Вашего мнения и если Вы - участник курса в МФТИ) написать в анонимную форму на сайте кафедры. Прошу Вашего разрешения опубликовать Ваш отзыв в интернете анонимно (т.е. без Вашей фамилии; без Вашего разрешения публиковать не буду). Такая публикация сделает для студентов (и для коллег) более видимыми и достоинства курса, и работу команды курса над его недостатками (даже если недостатки озвучены в отзывах в благожелательной форме). Если получу Ваше пожелание опубликовать Ваш отзыв с Вашей фамилией (и тогда, желательно, со ссылкой на Вашу интернет-страницу), то сделаю это.
    Мне было интересно с Вами заниматься (или вести совместные занятия), и я рад этой возможности продолжить общение.

    Коллегам. Буду благодарен за Ваше мнение о своих курсах и стиле преподавания. По моему мнению, публичное профессиональное обсуждение разных стилей преподавания способствует развитию науки и образования. Традиция таких обсуждений восходит к Лао Цзы и Платону и продолжена, в частности, Д. Майером, П.Л. Капицей, Н.Н. Константиновым, В.И. Арнольдом и А.Х. Шенем (см. публикации выше). По моему мнению, закулисные административные обсуждения разных стилей преподавания вредят развитию науки и образования, а также ухудшают репутацию соответствующей администрации. Отзывы преподавателей (выложенные с разрешения авторов и в основном анонимные).


    Введение в топологию (дискретные структуры и алгоритмы в топологии), ФИВТ, и Основы топологии, ФОПФ+ФУПМ

    Курс проводится совместно с А.Д. Руховичем (с осени 2022). Курс проходит по вторникам с 6.09.2022, 15.30-18.30, УЛК1-235. Он ориентирован на студентов 2 курса ФИВТ МФТИ (а часть программы без * --- на студентов ФОПФ+ФУПМ), но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Необязательные консультации и досдача задач: вторник, 10.20-11.30 (диванчики на 2 этаже КПМ), 14.00-15.20 (у УЛК1-235; по договоренности) и (для 126 группы) пятница, 11.00-11.45, дистанционно: Meeting ID: 885 2124 3139 (hypergraphs), Passcode: 443414. Договориться о консультациях с Алексеем Дмитриевичем можно по ссылке t{.}me{/}+HLHpbzp54VwzY2Uy.
    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 6-13.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Литература: [S20, параграфы 1-5], [S, параграфы 1, 4], [CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89]. Видеозаписи (2018). Успехи студентов.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из [S20] и 1.1, 1.4 из [S14].
    С 27.09 студенты ФИВТ могут выбрать вариант `без *'. Те, кто выберут этот вариант, пишут все контрольные работы, начиная со 27.09, по варианту, не включающему материал со * и чуть более простому. При этом начиная с 27.09 им не засчитываются устные домашние задачи со *, и идеальные письменные решения задач со *. Формула для оценки за семестр `со *' и `без *' одинаковая. Однако тем студентам, у которых меньше времени на изучение курса (в частности, тем, которым приходится тратить больше времени на наработку математической культуры, необходимой для его изучения), любую оценку проще получить по варианту `без *'. Пожалуйста, продумайте Ваш выбор до 27.09, ибо после получения варианта на контрольной 27.09 изменить Ваш выбор нельзя. Cтуденты, выбравшие вариант `без *', на части семинаров будут разбираться с домашними заданиями, консультироваться, писать РДП, писать контрольную (когда она будет). Те из них, кто готовы сдать любую задачу без * из текущего задания (умея доказать все используемые факты из курса), смогут по желанию либо разбираться с прошлыми заданиями, либо получить задание к следующему разу. Для студентов, выбравших вариант `со *', эти части семинаров будут проходить на более высоком уровне (в частности, с более высокими требованиями).

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке МФТИ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.)
    К 6.09: 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из [S20]. Прочитайте первую фразу в п. 2.2. Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы про тор и Cutting a Moebius strip in half (and more). Попробуйте программу A polygonal line avoiding an obstacle.
    Q: Задачи, как я понял, по дискретному анализу.
    A: Рад, что задачи по топологии показались Вам задачами по дискретному анализу. Стиль нашего курса - начать с заведомо интересного студентам материала и развивать этот интерес, а не загружать студентов материалом, который им неясно зачем.
    К 13.09: 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2cd*, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 и 1ad*, 2, 3a из п. 2.4 (в 2.3.5с и 2.4.3a используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 1.4.1ca, 1.4.2c и 1*, 2a*b*c*, 3a* из п. 1.5. Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1. Посмотрите мультфильмы про крендель и сферу с ручками. Попробуйте программу Boundary circles of disc with ribbons.
    К 20.09: 2abcd, 5, 6ab'b, 4, 3ba* из п. 1.4 и 1.3.3c*d* (далее используйте без доказательства) и 4a, 6ab, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 и 2.5.1abcde (формулировка+эвристика), 2.5.2ab, 1.5.3b*c*. Определения плоского графа и его грани можно найти в п. 1.3 (или в Википедии). Посмотрите мультфильм Euler's Formula and Graph Duality. Готовьтесь к контрольной работе на 15 минут, прорешивая задачи и прочитав типичное пояснение (а дальше уж и без предупреждения).
    К 27.09: 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.2b, 2.5.3a, 2.8.1a и 1a, 2abd, 3ab, 5, 6a из п. 2.7 и 4.6.3abcd, 5.1.1, 2.4.8b*, 2.4.7*, 2.5.1d'*, 1.4.7a*, 1.6.1a*b* и из [S, п. 1.3]: 4a*, 5a*.
    К 4.10: 2.8.3a, 4.6.3egi* и (необходимые определения можно найти в разделе 5.1) 5.5.1bc, 5.5.4a, 5.5.5abс, 5.6.2ab, 5.6.3a, 5.6.1abcde, 2.7.2c*, 2.8.1d*, 1.6.1d*e*f*g*, 1.6.2a*b*. Посмотрите мультфильмы Real projective plane and Moebius strip, The cross-cap* и Moebius strip and Cross-cap*.
    2.8.3(a) Нарисуйте на диске с~$m$~лентами Мёбиуса $m$~замкнутых несамопересекающихся попарно непересекающихся кривых, объединение которых не разбивает его.
    К 11.10 (слегка изменено): 1.6.4c, 1.6.5, 2.8.5a, 5.6.1ghi, 5.6.3b, 5.8.2c, 5.1.4 (в 5.8.2c и 5.1.4 используйте без доказательства утверждения 5.5.2, 5.8.1, 5.8.2ab, 5.8.4), 5.1.3a, 5.7.1abcd, 5.7.2a, 1.6.3(bI)*(bE)*a*, 1.1.2* и 1b*c*, 2a*b*a'*b'*, 3a*a'* из п. 2.6.
    2.8.5(a) Лента Мёбиуса с~ручкой гомеоморфна ленте Мёбиуса с~вывернутой ручкой.
    К 18.10: 5.4.2b и по [S]: 1, 2, 3a, 4 из п. 4.1 и 1ab, 2ab, 3b из п. 4.2 и по [S20]: 1abcd, 2abcd, 3ab* из п. 3.2 (в 3ab* примеры без доказательств) и 3b*, 4a*b*c*d*, 5(bE)*(bI)*a*, 6* из п. 2.6.
    К 25.10: 3.3.1ab и 1, 2ab, 3abc, 4abc, 5ac, 6ab из п. 3.4 и 7a*b*, 8(bE)*(bI)*a* из п. 2.6 и 2.7.6b*, 2.7.7a*b*с* и 2a*b*c*, 5b*c*d*e*, 6c* из п. 2.8. Посмотрите мультфильм о векторных полях.
    2.8.2(a) Пусть на ленте Мёбиуса нарисован без самопересечений связный граф с~$V$ вершинами и~$E$ ребрами, не пересекающий краевой окружности. Обозначим через~$F$ число граней. Тогда $V-E+F\ge1$.
    (b)~Граф~$K_7$ не реализуем на ленте Мёбиуса.
    К 1.11: 3.4.7ab* и 1a*bcdf, 2bcde, 3abc*, 4cde*, 5abcd из п. 3.5 (доказывайте непрерывность, приводя формулу \delta(\epsilon)=...) и [BMS, 5.1*, 5.2*, 5.3.a*b*c*] и 3.1.5a. 2.7.8a*b*c* и 5.6.4b*c*d*, 5.6.5*, 5.7.3a*. Попробуйте программу Homeomorphism between ribbon graph and sphere with handles and holes.
    К 8.11: 1abcd, 2, 3, 3Sp(доказать), 4 из п. 3.6 (в 3.6.3 нарисуйте граф с вершинами 3.1.2, 3.3.1c, 3.4.5b, Re, Sp, RePL*, BrPL*, Br\epsilon*, и ребрами - минимальными импликациями, которые Вы доказали; минимальность означает отсутствие тех импликаций, которые получаются по транзитивности; импликации, включающие RePL, BrPL и Br\epsilon, со *; отчет по 3.6.4 аналогичен 3.6.3, вершины - 3.1.3 и a*,b,c,d) и 3.7.1abcd, 3.7.2abc. Посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике. Посмотрите кино о теореме Борсука-Улама и короткометражку о гомотопии.
    К 15.11: 3.6.2, 3.6.4 (равносильность 3.1.3 и b,c,d), 3.7.1abcd, 3.7.2abcd, 3.8.1abc, 3.9.1abcd, 3.9.2a'a''ab'bcde, 3.9.3a, 3.3.1c, 3.4.5b, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.1* (четко сформулированные версии леммы о поднятии гомотопии 3.9.2b можно использовать без доказательства тому, кто доказал лемму о поднятии пути 3.9.2a''). Посмотрите первую половину немого кино о накрытиях.
    К 22.11: 3.9.3bc, 3.9.4ab*, 3.1.4b, 3.1.5abc*, 3.10.1a*b*с*, 3.10.2*, 3.10.3a*b*, 3.11.1a*b*, 3.11.2a*b*c*, 3.11.3a*b*c*d*e*, 3.1.6a*b* (лемму о поднятии гомотопии 3.9.2b уже нельзя использовать без доказательства).
    К 29.11: 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3b, 4.1.1a, 4.3.1abcde, 4.4.1a* и
    К 6.12: подсказка к 4.5.1b и ее реализация (5Mb) и по [S20u]: 1.1ab*c, 1.3, 4.1, 4.2, 4.3a, 4.4*, 2.1ab*c, 3.2, 3.3, 6.1abcde, 6.2*, 6.3.a*, 8.1, 5.1a*b*, 5.2a*b*. Посмотрите первую часть лекции и вторую часть рекламы*.
    К 13.12: по [S14]: 2.4ab, 1.1(существование)(нечетность), 1.4(существование)(нечетность)* (подсказки тут) и по [S]: 1abc, 2, 6a*b* из п. 4.3 (for the case when the vertices are in general position) и 1, 2abcdef, 3, 4a* из п. 4.4.
    К дифф. зачету 20.12: Для самостоятельной работы и для 3-курсников (этот материал входил в курсы прошлых лет): 5.1.5(первое предложение)*(второе предложение)* 8a*b*, 9a*, 11a*b* из п. 2.8.


    Введение в топологию для пользователя

    Курс ориентирован на студентов НМУ (начиная с 1 курса), но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Он проходит по пятницам с 9.09.2022, 17.30-19.10, ауд. 303 НМУ. Можно участвовать дистанционно: Meeting ID: 885 2124 3139 (hypergraphs), Passcode: 443414. Необязательные консультации и досдача задач: до или после занятия, желательно предупредить.
    Дорогой очный или дистанционный участник! Пожалуйста, пришлите мне на skopenko@mccme.ru Ваш эл. адрес, чтобы я расшарил для Вас гуглшит, в котором перед каждым занятием Вы будете отмечать цифрой 1 задачи, решения которых готовы рассказать на занятии.

    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 9-16.09). Как ставится оценка за экзамен/зачет? Литература: [S20, параграфы 1-5], [S, параграфы 1, 4], [CR, глава 5], [A, BE, P, S14, S89]. Успехи студентов.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.2, 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.7, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5c, 3.6.3, 3.6.4, 4.1.1, 4.1.2 из [S20] и 1.1, 1.4 из [S14].

    Q: Можно ли сдавать задачи, заданные на предыдущие занятия?
    A: Из нужно решать и обсуждать с участниками курса, ибо их правильные решения нужны для понимания дальнейшего материала. О сдаче см. << О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 9-16.09)>> выше.
    Q: Будет ли видеозапись занятий?
    A: Против видеозаписи я не возражаю, но обычно она не ведется. Изучение книги, самостоятельное решение домашних задач и их обсуждение полезнее просмотра видео.

    Домашние задания (Если источник не указан, то задание по электронной версии книги [S20]. Бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке НМУ - просите 2-е издание 2020 года - но нумерация в ней может отличаться. Следите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! Окончательны только задания с жирными датами. Хотя смотреть видео и пробовать программы не обязательно, это поможет Вам решить обязательные задачи.)
    К 9.09. 1.4.1a*, 2.2.1ab*, 2.2.2a, 2.2.3a, 2.3.2ab из [S20]. Прочитайте первую фразу в п. 2.2. Определения ленты Мебиуса, бутылки Клейна и тора можно найти в п. 2.1 (или в Википедии). Посмотрите мультфильмы про тор и Cutting a Moebius strip in half (and more). Попробуйте программу A polygonal line avoiding an obstacle.
    К 16.09. 2b, 3b, 4ab, 5* из п. 2.2 и 2c, 3abc, 4, 5c, 1ab из п. 2.3 (в 2.3.5с используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 2.4.1a, 1.4.1ca. Определение сферы с ручками можно найти в п. 2.1 (или в Википедии), а букета циклов - на рис. 1.2.1. Посмотрите мультфильмы про крендель и сферу с ручками.
    К 23.09. 3c, 5c, 1ab из п. 2.3 и 2, 3a, 4a из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a). Видео лекции.
    К 30.09. 2.3.1b и 6a, 8a, 7(для тора) из п. 2.4 (используйте без доказательства неравенство Эйлера 2.5.3a) и 1c, 2abcd, 5, 6ab'b, 4 из п. 1.4.
    К 7.10. 1.4.2cd, 1.4.3b, 1.3.3c* (далее используйте без доказательства), 2.5.1abcde (формулировка+эвристика), 2.5.2ab, 2.7.2ab.
    К 14.10 (разбор 28.10). 2.5.3a и 1a, 2d, 3ab, 5 из п. 2.7 и 1, 2abcd, 3aa'bc* из п. 1.5.
    Занятие 14.10 отменяется.
    К 21.10 (разбор 28.10). 2ab, 4abc, 5 из п. 1.6 и 4.6.3abcdegi*.
    Занятие 21.10 не обязательное (хотя задание к 21.10 обязательное). Оно состоится в 18.10-19.40 в виде доклада на научном семинаре лаборатории алгебраической топологии и приложений на ФКН ВШЭ: A quadratic estimation for the K\"uhnel conjecture (S. Dzhenzher and A. Skopenkov). Ссылка для дистанционного участия будет дана здесь.
    К 28.10. 5.1.1 и (необходимые определения можно найти в разделе 5.1) 5.5.1bc, 5.5.4a, 5.5.5abс, 5.6.2ab, 5.6.3a, 5.6.1abcdeghi*,
    К 4.11. 5.6.3b, 5.8.2c, 5.1.4 (в 5.8.2c и 5.1.4 используйте без доказательства утверждения 5.5.2, 5.8.1, 5.8.2ab, 5.8.4), 5.1.3a, 5.7.1abcd, 5.7.2a.


    Линейно-алгебраический метод в топологии: теория гомологий

    Курс проходил по вторникам 6-20.09.2022, 09:00-10:25 в 432 ГК (семинары) и 13:55-15:20 в 432 ГК (лекции). Продолжить изучение можно либо в рамках курса Введение в топологию, либо самостоятельно + курс Введение в топологию для пользователя. Курс ориентирован на студентов 3 курса ФИВТ МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Для его изучения не нужно предварительных знаний; программа осени 2022 года изменена по сравнению с обычной для реализации этого. Аннотация и программа 2022.

    Аннотация и программа 2019-2021. О занятиях и экзамене/зачете (прочитайте к 5-10.09). Видеозаписи занятий (2021). Литература (2019-2021): [S20, параграфы 4, 6, 8, 9], [S, параграфы 1, 2, 4, 5]. Для его изучения достаточно сдать вариант без * курса Дискретные структуры и алгоритмы в топологии (впрочем, не весь материал того курса необходим).
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться (2019-2021): 1.2.2, 1.4.1, 2.2.2, п. 5.7 из [S] и 4.6.2, 6.7.7, п. 8.1, п. 8.5, 9.1.3-9.1.5 из [S20].
    Домашние задания 2021
    Ко 2.09: 1.3.4ab, 1.4.1*, 6.4.1ab*, 4.6.1a из [S] и 2.4ab, 1.1(существование), 1.4(существование) из [S14].
    К 9.09: 1.3.5a, 1.1.1b, 1.4.2ab, 1.4.3, 1.4.1, 1.4.4a, 1.1.3a и 3, 4, 5ab, 6ab, 7ab, 8, 9, 1, 2(K_5)* из п. 1.5 и 2.2.1ab, 1.2.2b из [S]. Используйте без доказательства теорему Куратовского 1.2.4.
    К 16.09: 1.1(существование), 1.4(существование) из [S14] и 1.5d, 1.8abcde, 1.9be, 2.4, 2.6, 2.7b* из [KRR] и 1.1.4*, 1.3.5b, 1.4.5, 1.5.8, 1.5.1, 2.2.2ab, 2.2.3, 4.6.2, 4.9.3bc, 5.1.1a* (нужен рисунок, а не доказательство), 5.2.1ab, 5.2.3 из [S].
    К 23.09: 1.1, 1.4(существование) из [S14] (упрощенное док-во) и 3.6.2 из [S20] и 1.1.4*, 1.4.5, 2.2.2b, 5.2.1b, 5.2.2ab, 5.2.4, 5.3.1, 5.3.2ab, 5.4.1 и 1abc, 2ab*, 3ab, 4ab, 5ab, 6a*b*c*d* из п. 5.5 из [S].
    К 30.09: 1.4(существование) из [S14] и 2.2.2b, 5.2.2b, 5.5.4ab, 5.6.2d, 5.6.4abce, 5.6.6a (нужен рисунок, а не доказательство), 5.6.6b и 1ab*, 3ab, 4 из п. 5.8 и 5.7.1ab* (see \S5.9; use without proof Borsuk-Ulam Theorem 5.9.1) из [S].
    К 7.10: 5.6.4b, 5.8.1bc, 5.8.3b, 5.8.4, 5.7.1ab* (see \S5.9; use without proof Borsuk-Ulam Theorem 5.9.1) и 3, 4, 5abcd, 6*, 7* из п. 5.10 и 6.4.1ab*, 6.4.2ab, 6.4.3ab, 5.12.1abcd в [S].
    К 14.10: 4.8.1ab(кроме двух), 4.8.2a, 4.9.1a, 4.9.2abde, 5.10.2* из [S] и 6.1.2a и 1ab, 2ab, 3abcd*, 4, 5abcd из п. 6.2 (там, где это осмыслено, решайте для триангуляций, а не для клеточных разбиений; многие задачи в параграфе 6 полезно сначала решить для триангуляций, а затем для клеточных разбиений).
    К 21.10: 4.8.2a, 4.9.2e из [S] и 1abcd, 2ab, 3, 4abc, 5ab, 6ab*, 7abb*, 8abc, 9ab из п. 6.3 и 6.1.2b и 1abc, 2ab, 3* из п. 6.4. Утверждение 6.3.7b верно только для локально евклидовых гиперграфов и в пункте без * надо доказать его для локального евклидовых гиперграфов, а в пункте со * - построить контрпример для не локального евклидовых.
    К 28.10: 6.3.7b, 6.3.9ab, 6.1.2b, 6.4.1c и 1a(без симметричности), 1bc, 2, 3a*, 4ab, 5a(только KxI), 6a из п. 6.5 и 1abcd (в п. (d) определите <<естественные>> отображения $f$ и $f^*$), 2ab, 3ab* из п. 6.7 и 6.6.2.
    К необязательной консультации 4.11 (ориентировочно 13.55-14.10 разбор базовых задач, 14.10-14.25 разбор основных задач, 14.25-14.40 разбор сложных задач, 14.40-15.10 новый материал): 5.8.1ab*c*d (по эл. версии), 6.5.5b*, 6.5.6a, 6.7.1b, 6.7.2bcd(форма пересечений симметрична), 6.7.3a (достаточно нестрогих рассуждений), 2.2.5d, 6.6.1a, 6.6.2.
    К 11.11: 6.5.6b* и 4, 5abcd*ef, 6 из п. 6.7 (используйте без доказательства утверждение 6.7.5d для других утверждений) и (достаточно нестрогих рассуждений) 6.6.1b* и 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали), 3(равносильность), 6abcde, 7abc из п. 8.1.
    К 18.11: 6.7.5bf, 6.7.6 и 2(3.7.2d), 7cde, 5ab, 4*, 6f* из п. 8.1 и 1abcd, 2, 3abcde, 4, 5abc, 6acd из п. 8.2. Утверждением 8.2.6b можно пользоваться в других задачах без доказательства.
    К 25.11: 2(3.7.2d), 3(доказательство), 5b, 4* из п. 8.1 и 2*, 5b, 6abcdef, 7, 8 из п. 8.2 и 8.3.2ab*, 4.5.2c, 4.6.3i, 4.7.1abcdei, 8.4.1abc, 8.4.2 (4.5.1abcdf, 4.5.2a; напишите номера задач, аналоги которых сделали). Утверждением 8.2.6b можно пользоваться в других задачах без доказательства.
    Кo 2.12: 8.2.6b, 4.5.1f, 4.5.2b (см. определение в конце п. 2.1), 4.5.3*, 4.7.2 (предполагая корректность) и 1abc, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 4.6.1 и 1de (см. определение сферы с ручками в п. 2.1), 2(4.5.3*, 4.6.1), 3a(гомеоморфность)*(подмногообразие) из п. 8.4 и 8.6.1ab, 8.6.2ab. Теоремой 8.3.1a можно пользоваться в других задачах без доказательства.
    К 9.12: 8.2.6b, 4.5.2b (см. определение в конце п. 2.1), 4.8.2c, 8.4.1d (см. определение сферы с ручками в п. 2.1), 8.4.3ab*c*(подмногообразие), 8.4.4c, 8.6.1bcdc'd', 8.6.2cdef* и 2, 1ab, 3ac из п. 8.5 и 1ab, 2a, 3abc (по эл. версии) из п. 8.7. Теоремами 8.3.1a и 8.6.2f можно пользоваться в других задачах без доказательства. И посмотрите мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых), мультфильм-1 (для детей), мультфильм-2 (для детей).
    К зачету 16.12: 4.5.2b, 8.4.4c, 8.5.3ac и 1b, 2ab, 3abc (по эл. версии), 4a, 5a, 6a*, 7ab из п. 8.7 и 1, 2ab*, 3ab, 4, 5, 6ab* из п. 9.4 и 9.3.1a, 9.1.1a, 9.1.2ab, 9.2.2abcdef (deg f четно). Можно пользоваться без доказательства результатами задач 8.7.6abc и эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).


    От векторных полей к характеристическим классам

    Курс проходит по воскресеньям, 11.10-12.30 (ранее проходил по субботам). Курс ориентирован на студентов 3-4 курса и магистрантов МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Ссылка для дистанционного участия в занятии предоставляется тем, кто отметил в гуглшите решенные задачи к этому занятию.
    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [S20, параграфы 4, 6, 8, 9, 10, 14], [BE].
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: см. пункты 9.1, 11.1 и 12.1 из [S20].

    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S20]; бумажная версия книги [S20] доступна в библиотеке; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами) (cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
    К 10.09: 8.10.1a, 8.12.1a, 8.12.2a, 8.1.7a*b* и (по бумажной версии) 9.1.1ab*, 9.1.2ab, 9.2.2c из [S20].
    К 18.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2cde, 9.3.1ab, 9.3.2ab* и 1, 2ab*c*d*, 4, 5, 3ab, 6ab* из п. 9.4 (указание: сделайте для триангуляций 6.2.3abc, 6.3.1bcd, 6.3.2ab, 6.3.3, 6.4.1ab). Можно пользоваться без доказательства эквивалентностью ориентируемости следующему. Ориентацией n-мерного векторного пространства V над R можно назвать невырожденную полилинейную кососимметричную форму V^n\to R. Многообразие N называется ориентируемым, если существует семейство ориентаций касательных пространств к N в точках x\in N, непрерывно зависящих от точки x\in N. В начале п. 9.4 опечатка: вместо (234) и (124) нужно (243) и (142).
    К 24.09: 8.1.7b (указание: 3.11.1ab), 9.2.2de, 9.3.1b, 9.3.2a, 9.4.3b и (трехмерный аналог задачи 6.1.2b)* и 2ac*, 3abc, 4ab, 5ab* из п. 9.7 и 10.4.1abcd.
    Ко 2.10: 9.3.1b, 9.7.4ab, 9.7.5ab*, 10.4.1def, 10.5.1abcd, 10.5.2 (аналог 6.5.4ab).
    К 9.10: 10.5.1ef, 10.5.2 (аналог 6.5.5a), 10.5.2g, 6.7.3b, 9.2.2f (deg f четно), 9.2.1 (эвристика) (строгое док-во)*, 9.7.1a, 9.7.5b, 9.1.6.
    К 16.10: 9.4.6ab*, 9.1.3 mod 9.5.1, 9.7.1b*, 10.8.1ab*, 9.5.1
    К 13.12: 7.1.2ab, 7.1.1ab*, 7.1.7abc, 7.1.7c, 7.2.2, 7.2.5

    Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, НМУ, весна 2021. 3.4.6a, 3.11.1a, 4.1.1a, 4.2.2, 4.3.1a, 4.4.2ab, 8.9.1a* и 2ab, 4abc, 5ac*, 6b, 7a из п. 3.4 и 3.8.1abc и 1abcd, 2a'a''abb'ce, 3a из п. 3.9 и 1ab, 2abc, 3abc*d из п. 3.11 и 3.7.2ab, 4.2.3b, 4.4.2b и 3.7.2cd*, 3.3.1с, 3.4.5b, 3.10.2, 3.10.4(n=1), 3.11.2b, 3.11.3bce, 3.1.6a, 4.3.1bce, 4.3.2a, 4.1.2a и 3.11.3c, 4.3.2a, 4.1.2ab*, 4.4.1a и 1(c-i), 2abc, 3, 4 из п. 4.5 и 4.6.1, 4.6.3(a-g) и 1abcd, 2abc, 3ab из п. 4.8 и 1ab, 2 (напишите номера задач, аналоги которых сделали) из п. 8.1 и 4.6.2 и 3, 6(a-f), 7(a-e), 5ab из п. 8.1 и 8.2.1(a-d), 8.2.2 (начинайте решать предложенные задачи из параграфа 8 со случая n=2 - там, где он осмыслен) и 4.7.1(a-h),i*, 4.7.2 и 3(a-f)2*, 4, 5abc, 8 из п. 8.2 и 8.4.1abcd. и 5abc, 6abcdef, 7 из п. 8.2 и 2, 3abc*(p=3q=3), 4a из п. 8.4 и 8.6.1abcdc'd' (для достаточно мелкой триангуляции) и 8.6.2abcdef, 8.5.1ab, 8.5.2 и 8.3.2abcde, 8.3.1a и 1ab, 2ab, 3a, 4a, 7ab (используя корректность 8.7.6) из п. 8.7 (по электронной версии) и 8.8.1abcde, 8.8.2abcd и посмотрите мультфильм про отображение Хопфа (для взрослых) и мультфильм-1 (для детей) мультфильм-2 (для детей). и 8.7.3bc, 8.7.4b (по электронной версии), 8.8.2abcd и 4.9.1abc, 4.9.2 и 1abcd, 2, 3a (для m>4), 4ab из п. 4.10 и 8.5.3abc, 8.6.4a (для m=5,n=3), 8.6.5a, 9.8.7a и 8.6.3abc*, 8.7.6a, 8.8.2abcd, 8.8.3ab, 9.8.7bc.
    4.4.6abc*, 4.4.7a, 5.12.1abcd* и Remark 2a, 1st paragraph и прочитайте стр. 30-31 и 37.
    If $A\subset X$ is a strong deformation retract of $X$, then for any $Z\subset\R^d$ the restriction induces a 1--1 correspondence $[X,Z]\to[A,Z]$.

    Векторные поля на многообразиях и теория гомологий, 2019. Аннотации и программы похожих курсов <<Теория гомологий для пользователя>>, НМУ и МФТИ, весна 2018, и <<Топологическая теория векторных полей на многообразиях>>, НМУ, весна 2016.


    Топология гиперграфов и многообразий в интересных результатах

    Курс проходит по воскресеньям, 12.40-13.40 (ранее проходил по субботам). Курс ориентирован на студентов 3-4 курса и магистрантов МФТИ, но его могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Этот курс (мастер-класс) сочетает в себе научный семинар и спецкурс. Ссылка для дистанционного участия в занятии предоставляется тем, кто отметил в гуглшите решенные задачи к этому занятию.
    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете. Увертюра (ср. с [DS22]).

    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами; если не получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.)
    11-25.07, 8.08: Some material from \S8.1-8.5, [KS21], [DS22], [KS21e].
    К 15.08: Th 1.1ab* (=>), Th 1.4* (=>); C121a mod Th 123, L232, R251: E<=>EH, R252b*.
    К 22-28.08: 1abc, 4abcd*, 5, 8ab из п. 8.3 и 1.5.6, 5.8.5, 8.5.1abcdef и по [S20]: 13.1.1abcd*e.
    К 18.09.2022: 8.3.6abcd, 8.5.2abc, 8.3.4a и по [S20]: 13.1.1ce, 6.8.2, 6.8.3ab и по [RS72, \S5]: 2.1, 2.3, 4* (без Addendum). Hint to 13.1.1c: Define a map $p_1:D^2\times S^1\to D^2$ by $p_1(z,w)=zw$. Find a self-homeomorphism $h_1$ of $D^2\times S^1$ such that $\pr_1 h_1 = p_1$. Пересмотрите мультфильм про отображение Хопфа.
    [RS72] C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to Piecewise-Linear Topology, Springer, 1972. (К. П. Рурк и Б. Дж. Сандерсон, Введение в кусочно-линейную топологию, Москва. Мир. 1974.)
    К 24.09: 8.3.6cd, 8.5.2acd, 8.3.4a и по [RS72, \S5]: 2.1, 2.3, 4* (без Addendum) и по [S20]: 6.8.3a, 13.1.1c, 10.6.1, 10.6.2ab, 10.6.3ab, 10.6.4ac.
    Ко 2.10: по [S20]: 10.6.4acd, 11.2.1abc (G=Z_2), 11.3.1abcd, 11.3.2abcd, 11.3.4ab (далее используйте 11.3.3 без док-ва) и по [S]: 5.14.4c, 7.2.8b*, 7.2.9bad*c* и по [RS72, \S5]: 4* (без Addendum).
    К 9.10: по [S20]: 6.8.4ab, 11.2.1cd (G=Z_2), 11.3.2d, 11.3.3 и по [S]: 7.2.8b*, 7.2.9bad*c*, 8.3.6c и по [RS72, \S5]: 4* (без Addendum).
    К 16.10: 8.3.6d 8.4.2ab (если не выходит, прочитайте док-во в п. 8.5), 8.5.3
    К .12: По [KS21e]: 2.5.3, 2.5.4abcde (see definitions before Addendum 2.4.3).

    Весна 2022:
    4.9.1c и 1alpha,a'abcdefg*, 3abc, 4ab*, 5ab, 5c(n=2), 5cc(n=3), 6a(n=2)a(n=3)b(n=2)b*(n=3) из п. 4.10 и 6.6.7abc
    For each m construct an immersion a_m : R^m \to R^{2m} which is approximately linear outside the unit ball, and has a single double point (hint)
    По [AMS+]: Local Disjunction Theorem 1.9 for k=r=2, for r=2\le k-1 (hint: Remark 3.1.c), Global Disjunction Theorem 1.11.a для r=2 (это аналог теоремы 5.11.2a для почти-вложимости; hint: use the Local Disjunction Theorem 1.9, and use without proof that the preimage of a regular neighborhood is a regular neighborhood).
    John Milnor: Spheres; [S20, 5.8.1acde]; Lemma 1.5* (use without proof Theorem 1.6); The Weber Theorem 8.1 for m=n+2=3 (hint: Proposition 8.2); 4ab, 3, 8; 1.3ab, the k-independence in Theorem 1.4 for k=2.

    Осень 2020:
    По [S20]: 5ab, 6, 7ab, 9abcdef из п. 14.5 и 4a, 5b*, 6, 7abce, 8c из п. 15.1 и 1, 2 (эвристика), 3a (разберите доказательство), 5ab, 4 из п. 15.2 и 1ab, 2a, 3, 4, 5 из п. 15.3 и 1ab, 3ab, 5, 7ab, 4, 2 (разберите доказательства) и 2d, 3ab из п. 9.4 и 9.5.1 (подсказки: п. 9.6, 9.7) и 1abcdfg, 2abcd, 3abcdfg, 6a, 7abc, 8abcd* из п. 9.8 и 2ab, 3, 4, 1, 5ab*, 6a из п. 9.9 и 2.1, 3.1, 2.2a, 4.1, 2.2b, 2.3ab (без вложений), 2.2c, 5.1a из \S12.
    Докажите (для PL случая) сильную теорему Уитни о вложении. Unknotting Theorem 2.4 Докажите (для PL случая) the Penrose-Whitehead-Zeeman Theorem 6.1; сформулируйте свойства регулярных окрестностей, используемые в доказательстве [RS99, \S8]; from now on use without proof [RS99, Engulfing Lemma 8.1]. Deduce Theorems 2.4.a and 6.2 for dN=S^{n-1}. Use without proof the existence of a regular homotopy between any two embeddings N\to R^{2n} (for 2.4.a) and immersability of N to R^{2n-k-1} (for 6.2). Or prove the theorems by engulfing. [HH63, Theorem 3.1.a]. From now on: use the Smale-Hirsch theorem 15.3.6 without proof. Theorem 6.5 (подсказка: Lemma 2.2.W_0'). По атласу.
    [HH63] A. Haefliger and M. W. Hirsch, On existence and classification of differential embeddings, Topology 2 (1963), 129--135.
    [RS99] D. Repovs and A. B. Skopenkov. New results on embeddings of polyhedra and manifolds into Euclidean spaces, Russ. Math. Surv. 54:6 (1999), 1149--1196.
    [Sk16c] Embeddings in Euclidean space: an introduction to their classification.
    Примеры красивых теорем, которые изучались: [S20, пункты 9.1, 11.1, 12.1, 16.1];

    НМУ, весна 2013: аннотация и программа (в окончательную программу вошли пункты 1,2,4,5,6), видеозаписи лекций.
    НМУ, осень 2013: аннотация и программа, видеозаписи лекций.
    НМУ, осень 2015: аннотация и программа.


    Введение в топологическую комбинаторику

    Курс для МФТИ проходит по вторникам с 1.02.2022, 15:30-18:30 в 530 ГК. Для дистанционного участия: Meeting ID: 885 2124 3139 (hypergraphs), Passcode: 443414.
    Курс для НМУ завершен 6.04; разобраны п. 1-3 и 7 программы, а также материал доклада "Invariants of graph drawings in the plane" на семинаре "Динамические системы" на матфаке ВШЭ.
    Курсы могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Каждое домашнее задание, кроме первого, состоит из материала предыдущей лекции (см. примеры ниже). Оно кратко разбирается в начале того занятия, к которому задано. Каждая следующая лекция рассчитана на тех, кто разобрался с материалом предыдущих.
    Достаточные предварительные умения: классифицировать с точностью до гомотопии непрерывные отображения окружности в себя (см., например, [S20, \S3]; нужно именно классифицировать, а не выводить классификацию из теорем, доказательств которых Вы не знаете).
    Аннотация, программа и литература курса для МФТИ. Аннотация, программа и литература курса для НМУ. О занятиях и экзамене/зачете. Основная литература: [S, параграфы 2, 5, 6, 8], [S20, пункты 3.2, 8.2, 14.1-14.3], [S18, параграф 2].

    Домашние задания для МФТИ (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
    К 1.02: 2.1.4ab, 2.2.1a, 2.2.2a, 2.2.3, 7.1.3a и по [S20]: 3.1.4b и посмотрите кино о лемме Шпернера в мат. экономике.
    К 8.02: 2.1.3abd, 2.1.5 (mod Barany CCT), 2.1.6*, 2.2.1b, 2.2.2b, 2.3.1abcd, 6.1.1, 6.1.3 (mod Barany CCT), (5.8.4 или аналог для числа Радона), 6.1.2, (6.2.1 или 6.2.3 при помощи чисел ван Кампена или Радона), 7.1.1ab*, 7.1.2ab, 7.1.3bc*, (6.2.1 при помощи теоремы Борсука-Улама 5.9.1, которую можно использовать без доказательства), 5.9.1 (d=2).
    К 15.02: прочитайте п. 6.1-6.3 и 6.3.7a, 6.4.1abc*, 6.4.2(r=6), 7.1.1b* (для дерева K), 5.9.4abcdef, 5.9.3(равносильность), 5.9.1, 5.3.1, 5.3.2ab, 7.2.2abcd.
    К 22.02: 5.5.1ab и 1ab, 6, 7abcd, 8abc* из п. 7.2 и 1, 2(1)-(5), 3ac из п. 7.3 и 7.4.1abc.
    К 1.03: (6.3.2b mod 7.3.5 и 7.3.6), 7.2.7ce*, 7.4.1de, 7.4.2, 6.3.2a (для r простого). По [S20]: 3.2.4ab, 9.2.2ace.
    К 15.03: (6.3.2b mod 7.3.5 и 7.3.6), 7.4.1dee', 7.4.2, 6.3.2a (для r простого) и [KS21, Remark 1.3.C] и по [KS21e]: Corollary 1.2.1a (mod 1.2.3 and 2.3.2), Lemma 2.3.2 for M = R^{2k}*, Corollary 1.2.2 (mod 1.2.3 and 1.2.4a), Corollary 1.3.2ab (mod 1.3.1a, 1.3.4 and 2.1.7), Lemma 2.1.7*, Corollary 1.3.3b (mod Theorem 1.3.4) и по bipartite.pdf: Lemma 2ab*, Lemma 3ab (mod Lemma 2b*), Theorem 1 (mod Lemmas 3ab and 4) и по [S20]: 3.2.4b, 9.2.2cef и 1, 2ab из п. 14.1.
    К 22.03: по [S20]: 3.2.4b, 10.1.2a, 15.6.4a*bcde, 14.4.2abc*de. Корректностью определения инварианта Хопфа ([S20, 8.7.6]) и его инъективностью ([S20, 8.7.8g, 8.8.2c) можно пользоваться без доказательства в задачах этого и следующих заданий. Если не получается что-то доказать самостоятельно, то восполняйте детали в имеющихся набросках доказательств.
    К 29.03: по [S20e]: 1.6, 1.7, 1.9aa'*bb'*, 1.8ab, 1.2, 1.1 и по [S20]: 3.2.4cdefg, 3.2.5ab, 3.10.3abc и 2cdef*g, 3, 4, 5, 6abcd из п. 14.1.
    К 5.04: по [S20e]: линейность* и суперкоммутативность* произведения Уайтхеда, 1.6 для l четного (используя линейность без док-ва), 1.9b и по [S20]: 3.2.4efg, 3.2.5ab, 3.11.3abcde, 14.1.6cd, 14.1.2i (используйте пояснение и без доказательства 14.3.2), 14.3.2 (образующие), 14.3.1 (используя без доказательства 14.3.2), 14.1.7c, 14.4.1ab и по [S]: 9.1.1 (прочитайте), 9.1.2abc.
    К 12.04: по [S20]: 14.1.6cd, 14.3.2 (образующие), 14.1.2i и 14.3.1 (используя без доказательства 14.3.2), 14.1.7c, 14.4.1ab и по [S]: 9.1.3a*b*, 9.2.1ab, 9.2.2 (прочитайте), 9.2.3ab и 1abcdefghi, 2abc*, 3ac(необходимость)*c*, 5a, 4a из п. 9.4.
    К 19.04: 9.2.1b, 9.4.5ab, 9.4.4ab и 1abcd*, 2ab, 3ba из п. 9.5 и по [S20]: 14.1.7c, 9.4.6ab, 10.4.2aa,ab,ac,b.
    К 26.04: по [S20]: 9.4.6b, 10.4.2c и 2(аналоги 6.5.4ab и 6.5.5ab)g, 3abcd, 6(6.5.1-6.5.3), 7ab, 8* из п. 10.5 и 14.9.1 a(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) b(реализация класса), 14.9.2a (для PL 3-многообразий и отображений; под $S^1$ понимается $S^1_{PL}$; значение PL отображения называется {\it регулярным}, если оно не совпадает с образом ни одной вершины некоторой триангуляции, для которой отображение симплициально) и по [S]: 9.4.6a(необходимость) и 2a, 4, 5* и 6* (для замкнутых PL 3-многообразий) из п. 9.5.
    К 3.05: 9.4.6a(необходимость), 9.5.2a и 1ba, 2, 3ab, 4 из п. 9.6 и 9.8.1b(n=2)c(n=2) и по [S20]: 10.5.2efg, 10.5.7c*, 14.9.1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) a(реализация гомологичности для n=3)* c(n>3), 14.9.2a(n=3)d(n=3)*, 14.9.3a(корректность для n=3).
    К консультации 10.05: 9.6.4, 9.8.1b(n=2)c(n=2), 9.8.2b(n=3)c(n=3) и по [S20]: 14.9.1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) a(реализация гомологичности для n=3)* c(n>3), 14.9.2a(n=3)d(n=3)*, 14.9.3a(корректность для n=3).
    К дифф. зачету 17.05 (15.30-17.20): РДП (или тексты по исследовательским задачам) и 9.8.2b(n=3)c(n=3), 9.8.3 и по [S20]: 3abc (по эл. версии), 5ab, 6a*b*c* (далее 6abc можно использовать без док-ва), 7ab, 4b, 8abcdefg, 3b (по бум. версии) из п. 8.7 и 14.5.1ab, 14.5.5ab (подсказка: определение локально-тривиального расслоения в конце п. 13.1) и 1 b(реализация класса) a(реализация гомологичности для n>3) c(n>3), 2 a(n=3) d(реализация класса)*, 3 a(корректность для n=3) b(реализация класса для n=4)*c* из п. 14.9.
    Для самостоятельной работы (этот материал входил в курсы прошлых лет): по [S20]: 14.7.1ab, 14.9.4a(корректность для n=4)*b(реализация класса)*с* и 1abcde, 2abc, 3a*b* из п. 8.8.

    Гомотопическая топология с алгоритмической точки зрения (весна 2020). Аннотация, программа и литература.
    Вводные задачи: 2, 3, 4b, 5c, 6ab из п. 3.1 и 3.10.2, 3.10.3с, 4.3.3b*, 4.4.2ab*, 8.6.2ab* по [S20] и посмотрите мультфильм о расслоении Хопфа.) Далее - то же, что по курсу <<Введение в топологическую комбинаторику>> с 9.03, по [S]: пп. 5.9, 5.11, 5.12 и по [S20]:
    (3.2.3a с доказательством)*, (4.2.4a для заузленных окружностей)* и 10.1.3, 10.1.7*, 14.3.3ab* и прочитайте п. 10.2 и 10.3.1.ab, 10.3.5 и 13.4.2cd*, 13.4.3ab и 5ab, 6a-g, 7a-e из п. 8.1 и 8.2.4a*b*c*, 1a-h, 2a-g, 3, 5e*f*, 6, 7 из п. 8.2 и 8.3.1a*b, 14.9.1ac, 14.9.2a (для PL многообразий и отображений), 8.7.5a, 8.7.8abc*d*e*. Утверждениями 8.2.4c, 8.2.5ef, 8.3.1a можно пользоваться в других задачах этого и следующего заданий без доказательства. И 8.3.1a*b, 8.7.8f*g*, 8.7.4b*, прочитайте п. 13.1, 13.1.1abc, 13.2.1f, 13.4.1 и 13.4.2b (с заменой векторных расслоений на I-расслоения), 13.2.3a*b*, 13.4.2c, 13.4.3ab. 13.4.4a (первая фраза), 13.3.1a*b*, 13.4.4b*c*, 4.1.6.b*, 4.9.2b*, леммы 6* и 7*; F определен на стр. 8.

    Через гомотопическую топологию к сверхтекучести. Мастер-класс (осень 2018), ориентированный на студентов ФОПФ. Доп. литература: [S, параграф 4] и [S20, параграф 8.7] и [MM95, RSS05] из [S20].


    Алгоритмы распознавания реализуемости гиперграфов-1,2

    Курсы ориентированы на студентов НМУ, но их могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями. Каждое домашнее задание, кроме первого, состоит из материала предыдущей лекции. Оно кратко разбирается в начале того занятия, к которому задано. Каждая следующая лекция рассчитана на тех, кто разобрался с материалом предыдущих.
    Аннотация и программа части 1, 2020. Аннотация и программа части 2, 2021. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [S, параграфы 1, 2, 4, 5, 6], [S14, S18], [S16].
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1 и 1.4 из [S14] и 1.2.2, 1.4.1, 2.1.5, 2.2.2, 2.3.2, пп. 5.7 и 6.1-6.3 из [S].

    Домашние задания по части 2 (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файла книги! окончательны только задания с жирными датами)
    К 10.09: 1.1.1b, 1.1.2, 1.1.3abcd, 1.1.4*, 1.2.2a, 4.1.6a*b*c*d*, 5.2.3 из [S] и 1.1 из [S14].
    К 17.09: задачи к занятию 9-10.09 и 1.4 (существование) из [S14] и 1.5d, 1.8abcde, 1.9be, 2.4, 2.6, 2.7b* из [KRR] и Lemma 2 и 1.3.5b, 1.4.5, 1.5.8, 1.5.1, 2.2.2ab, 2.2.3, 4.6.1ab*, 4.6.2, 4.9.3bc, 5.1.1a* (нужен рисунок, а не доказательство), 5.2.1ab, 5.12.1b*c*d*f*h*, 5.13.1 (продолжаемость) и прочитайте п. 5.7.
    К 24.09: 1.1.4*, 5.2.2ab, 5.2.4, 5.3.1, 5.3.2ab, 5.4.1 и 1abcd, 2ab*, 3ab, 4ab, 5ab, 6a*b*c*d* из п. 5.5 и 5.6.2d, 5.6.4abce.
    К 1.10: 5.6.6a (нужен рисунок, а не доказательство), 5.6.6b и 1ab, 3ab, 4 из п. 5.8 и 5.7.1ab (see \S5.9; use without proof Borsuk-Ulam Theorem 5.9.1). Classify smooth embeddings into R^5 of S^2\times D^1, (of punctured S^2\times S^1)*, (of the boundary connected sum of two copies of S^2\times D^1)*; use without proof that any two embeddings into R^5 of S^2 are isotopic.
    К 8.10: 5.8.1bc, 5.8.4, 5.7.1a, 4.8.1ab(кроме двух), 4.8.2abcd, 1.3.6 [S; обновлено] и Examples 3.4ab, 3.1abc, 3.2*, 3.3* (use without proof Unknotting Spheres Theorem 2.3 and isotopy of embeddings S^k\times[0,1] coinciding on S^k\times0 and having homotopic normal vector fields to S^k\times0)).
    Лекционная часть занятия 8.10 (19.00-19.50) совмещена с докладом "Invariants of graph drawings in the plane" at "Selected Topics in Mathematics" online seminar.
    К 15.10: Приготовьте к сдаче задачи к 8.10 и 3ab, 4ab, 5ab, 6ab из п. 4.6 и 4.9.2abcde и 3, 4abcd, 5 из п. 5.10.
    К 22.10: 6b, 7ab, 8a из п. 4.6 и 4.8.4a, 4.9.1a, 4.9.2ce и 1*, 3, 5 из п. 5.10 и и по статье.
    К 29.10: 4.6.8b*, 4.6.9ab*, 4.9.2c, 4.9.5a, 4.9.6ab и 1, 3, 5, 6, 2 из п. 5.10 и 9abc, 10, 11 из п. 1.5 и готовьтесь к контрольной работе (30.10-4.11) за 1-й модуль, решая задачи к 10.09-22.10.
    К 5.11: 4.6.9ab*, 4.9.5a, 4.9.6ab, 5.11.1abc, 5.13.2a*b*, 5.13.3ad, 5.14.1a*bde.
    К 12.11: 4.9.6cd, 5.13.3b, 5.13.4ab и 1afg, 3ab, 2(=>), 4 из п. 5.14 и 4.11.4ab, 4.11.3* (M=T) и
    К 19.11: 4.4.6e, 5.11.4, 5.11.5ab, 5.13.4c, 5.12.7ab* (without `deformation').
    К 26.11: 4bc, 5ab, 6 из п. 5.13 и 5.11.3, 5.11.2b, 5.12.7ab, 5.12.8ab* (without `deformation'), 5.14.1g, 5.14.2(=>), 5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), [S20, 11.7.6b].
    К 3.12: 4bc, 5b, 6 из п. 5.13 и 5.11.2b, 5.7.4 (d=2k=4; mod 5.14.2), 5.8.2c (d=2k=4; mod the analogue of 5.14.2), 5.12.7a*b*, 5.12.8ab*, 1.5.12, 5.11.5c, 5.13.5c, 4.9.1c, 4.9.6e и [S20, 11.7.6b] и по arXiv:math/0604045: Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d for m=n+2=3.
    К 10.12: 5.13.4bc, 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.1c, 4.9.6e и [S20, 11.7.6b] и 5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7). По arXiv:math/0604045: Example 5.7.a for l=1, Example 5.7.d* for m=n+2=3.
    К 17.12: 5.4.4, 5.7.1a, 5.13.4bc (hint: Remark 1.5.5.c), 5.13.6, 5.11.2b, 4.9.6e, 5.8.2d (d=2k=4; подсказка в \S7), 4.7.4h*, Remark 1.5.5.c, Lemma 2, Theorem 1.9 for k=r=2 (hint: Remark 3.1.c), Example 5.7.a for l=1. И теоремы Уитни о вложимости n-многообразий.
    К обсуждению 25.12: 1abcdef, 2abcd*, 3ab*c*d*e*, 4ab*c* из п. 5.15.

    Аннотация и программа части 1, 2017. Аннотация и программа части 1, 2015. Похожий на часть 1 спецкурс на матфаке ВШЭ, 2013.
    Аннотации и программы похожих на часть 1 курсов <<Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии>>, НМУ, осень 2018, и <<Топологическая гипотеза Тверберга: комбинаторика, алгебра и топология>>, НМУ, осень 2016.


    Классификация зацеплений

    Аннотация и программа: 2019, 2017. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [P, S, S14, S20], High codimension links.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1.3 и 1.2.2 из [S20u], 1.1 из [S14], 4.2.6a, 4.3.3, 4.4.1, 4.9.3 из [S], \S4, \S5, \S8. Linking spheres.
    Участники курса могут сдавать полукурс `Зацепления в трехмерном пространстве' с 1/2 кредита. Программа полукурса: п. 1-5 программы курса (кроме числа Сато-Левина и многомерных оснащенных зацеплений); задачи к 11.09-30.10. Отдельный экзамен по этому полукурсу будет проведен в ноябре. Отдельный экзамен по второй половине курса будет проведен в декабре (и в январе-феврале 2020).
    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [S]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг! окончательны только задания с жирными датами)
    К 11.09.2019: 1, 2, 3ab, 4, 5*, 6b (используя 6a), 7ab, 8a*b, 9*, 10a* из п. 4.1.
    К 18.09: 1.2, 2.4a из [S14] и 1abc, 2, 3ab*c, 4ab, 5abc*, 6ab из п. 4.2.
    К 25.09: 4.2.5a, 4.2.6b и 1, 2abcde, 3, 4ab, 6a*b из п. 4.3 и 2.4b из [S14].
    Ко 2.10: 1.1 из [S14] и 1abcd, 2abcd, 3ab* из п. 3.2 (в 3ab примеры без доказательств) в [S20, п. 3.2] и 4.3.6a*, 4.4.1ab* (в 4.4.1ab примеры без доказательств), 4.5.1a, 4.5.2.
    К 9.10: 3ab, 4ab, 5a, 1b из п. 4.5 и 4.3.7a*b*.
    К 16.10: 5b, 6ab, 7ab, 8ab из п. 4.5 и 4.4.1b*c, 4.4.2a*b*.
    К 23.10: 1.1 из [S14] и 1, 2abcd, 3a*b*c*d*, 4abcdefg из п. 4.6 и 4.3.6a, 4.4.1d*, 4.4.2ab*.
    К 30.10: 1b, 2bcd, 3abcde, 4, 5abc из п. 4.7 и 4.4.2c*, 4.5.9a*b*.
    К 6-13, 27.11: 7abcde, 8abc, 3ab, 4ab*, 6ab* (предполагая корректность) из п. 8.5 в [S20] и посмотрите мультфильм про отображение Хопфа и 1ab(1'22'3), 2ab*c*, 3ab из п. 4.8 и 4.9.1abcd, 4.9.2abcdef.
    К 20.11: п. 1-5 и 10 из [S20u].
    К 27.11-18.12: Lemma 2, Theorem 1* from [S18] и прочитайте п. 1,2,3*,4*, докажите сформулированные в п. 2 утверждения: the Hopf link is not isotopic to the standard embedding; \zeta is well-defined; (\zeta is a homomorphism)* из атласа (определения встречающихся там новых для Вас объектов можно найти по ссылкам на том же сайте) и 1.3.6, 4.5.9ab, 4.9.3a*, 4.9.4ab* и 5aa'*b*c*d*, 6a*e, 9a*b*ceg (aceg - предполагая b) из п. 4.10. Можно решать задачи на меньшем уровне строгости, как в [S20u].
    К 10.1.2020: 9fh, 3, 4ab, 1ab из п. 4.10 и из атласа: (докажите замечание 3.2a*c*d*) и готовьтесь к контрольной работе на всю пару, прорешивая задачи.
    Дополнительный материал для изучения после сдачи экзамена (последние два годны также на `отлично' автоматом):
    Whitney embedding theorem (см. идею док-ва в русской версии). QUICKLY UNKNOTTING TOPOLOGICAL SPHERES. Простое доказательство теоремы классификации зацеплений.

    Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

    Обновляемая версия части книги, выложенная с разрешения издательства.
    Фотографии И. Решетникова, И. Федорова и других с занятий в 2013-2014.
    Осторожно, опечатки в фотографиях не исправляются - в отличие от опечаток в книге. Страницы указаны по издаваемой версии.
    К стр. 24, к доказательству неравенства Эйлера (задача 2.11a).
    К стр. 26, лист Мебиуса в книжке с тремя страницами (к задаче 2.19a, решение Т. Сеилова).
    К стр. 34, к задаче 2.15.
    К стр. 35, Утолщение графа (к задаче 2.21d, решение С. Соловьева).
    К стр. 35-36, Тор с дыркой в книжке с тремя страницами (к задаче 2.19b); краевые окружности ленты Мебиуса с дыркой меняются местами (к задаче 2.23d, рис. 25a), решение И. Сечина и М. Ягудина .
    К стр. 36, к задаче 2.23c (левая половина).
    К стр. 36-37, Преобразование диска с четырьмя ленточками, правая часть (к задаче 2.22b и другому решению задачи 2.26a, решение И. Сечина). `Разные' кольца с двумя лентами Мебиуса гомеоморфны (к задаче 2.23e, рис. 25b); преобразование диска с четырьмя ленточками, левая часть.
    К стр. 37, к доказательству формулы Эйлера (задача 2.26a).
    К стр. 45, п. 3.3: к определению степени; определение степени.
    К п. 3.3.
    К стр. 49, к задаче 3.2b.
    К стр. 51, к задаче 3.13ab.
    К стр. 52, к задаче 3.21bc; к задаче 3.22.
    К стр. 94, к определению клеточного разбиения.
    К стр. 104, к задаче 6.15a; к задаче 6.17c; к задаче 6.17d; к задаче 6.18.
    К стр. 105, к задаче 6.23d.
    К п. 8.3. Hopf fibration.
    К стр. 143, примеру линзовых пространств (слева).
    К стр. 148, определению приклеивающего слова.
    К п. 10.5. К п. 10.5.
    К стр. 151, к задачам 10.24 и 10.27. 1; 2; 3.
    К стр. 156, к задаче 10.13a; к задаче 10.16.
    16.02.2013: фото-1; фото-3. 2.03: фото-1; фото-2; фото-3. 9.03: фото-3; фото-4; фото-5; фото-6.
    16.03: фото-1; фото-2; фото-3. 13.04: фото-1; фото-2.
    26.04: фото-5; фото-6. 4.05: фото-1; фото-2; фото-2a; фото-3; фото-4.
    11.05: фото-1; фото-2; фото-3; фото-4; фото-6; фото-7; фото-9;

    Мотивированное и доступное изложение основ топологии

    Звездочками отмечена литература, требующая некоторой подготовки.
    [A] Д. В. Аносов, Отображения окружности, векторные поля и их применения. М., МЦНМО, 2003.
    [BE]
    В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович, Наглядная топология. М., Наука, 1982.
    [BE] V.G. Boltyanskii, V.A. Efremovich, Intuitive Combinatorial Topology. Springer.
    [CR] Р. Курант, Дж. Роббинс, Что такое математика. М., МЦНМО, 2004 (глава 5).
    [F] А.Т. Фоменко, Наглядная геометрия и топология, 1992.
    [FT] С. Л. Табачников и Д. Б. Фукс, Математический дивертисмент. М., МЦНМО, 2011.
    [FT] D. Fuchs and S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus. Amer. Math. Soc. Publ., Providence, R.I., 2007.
    [Mk] * J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry. Springer, 2008.
    [Mv] * S.V. Matveev, Algoritghmic topology and classification of 3-manifolds. Springer, 2003.
    [MA] * Manifold Atlas.
    [P] В. В. Прасолов, Наглядная топология. М., МЦНМО, 1995.
    [P] Prasolov V.V., Intuitive Topology. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1995.
    [S] А. Б. Скопенков, Алгебраическая топология с алгоритмической точки зрения, Недостающие рисунки к параграфу 5.
    [S01] А.Б. Сосинский, Узлы и косы, М., МЦНМО, 2001.
    [S14] A. Skopenkov, Realizability of hypergraphs and Ramsey link theory: presentation; full text.
    [S18] A. Skopenkov, Invariants of graph drawings in the plane, Arnold J. Math. 6 (2020) 21-55; full version: arXiv:1805.10237; presentation.
    [S20] А. Б. Скопенков, Алгебраическая топология с геометрической точки зрения, М., МЦНМО, 2020 (2-е издание).
    [S20u] A. Skopenkov, A user's guide to knot and link theory, Contemp. Math., to appear. Russian version to appear in Mat. Prosveschenie. arXiv:2001.01472.
    [S20e] * A. Skopenkov, Extendability of simplicial maps is undecidable.
    [S89] Ю. А. Шашкин, Неподвижные точки, М., Наука, 1989.
    [Z] * E.C. Zeeman, A Brief History of Topology.

    См. также:
    Санкт-Петербургская заочная олимпиада по топологии.
    А.А. Ошемков, А.Б. Скопенков, Студенческие олимпиады по геометрии и топологии, Матем. просв. 11 (2007) 131-140.


    Другие ранее исполненные курсы

  • Инварианты изображений графов на плоскости. Курс предложен в летнюю школу <<Современная Математика>>, но получил вечный отказ В.А. Клепцына. Желающие изучить этот курс могут связаться со мной.

  • Towards higher-dimensional combinatorial geometry. Main page. English. По-русски.

  • Некоторые приложения алгебраической топологии (весна 2021). Аннотация и программа, необходимые сведения, литература. Первые домашние задания (по книге [S20]): 10.9.1, 10.9.3*, 11.4.2a, 11.4.4ab, 11.6.1b, 11.6.2a, 11.1.1a*, 10.8.2, 11.4.1ab, 11.4.4cd, 11.4.5.

  • Спецкурсы в НМУ, на мехмате МГУ и на мехмате МГУ осенью 2012 Литература к этим прошлым спецкурсам - та же, что и к читаемым (но другие главы в соответствии с программами).

  • Топология-1, НМУ, весна 2014 (+ М. Скопенков).
    Программа. Видеозаписи лекций. Прием решений онлайн. Литература: параграфы 1, 2, 3 из [1].

  • Топология-2, НМУ, осень 2014 (+М. Скопенков).
    Программа. Видеозаписи лекций. Прием решений онлайн. Литература: параграфы 3, 4, 6, 8, 9, 10, 15 из [1].
  • Дифференциальная геометрия, мехмат МГУ и (осень 2013) ФИВТ МФТИ. См. также курс М.Б. Скопенкова.
  • Knot Theory, MiM, Spring 2014
    General information. References. On the final mark. Hints to some homework problems are given at the previous lecture.
    Homework problems.
    1.1*, 1.4, 2.1, 2.3.a, 3.1, 3.2a, 3.3, 3.5, 3.6 from [P].
    From [S] section 4; and from [S20u].
    1, 2, 3, 4, 5 из section 2.4 в [CDM]:=S.Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy. Introduction to Vassiliev knot invariants, Cambridge Univ. Press, 2012 (Chapters 1 and 2). 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 14, 19, 25 из [CDM, excercises to section 2, pp. 64-67] (нужно решать только для полинома Джонса, слова про полином Конвея в условии нужно игнорировать). 3.1.4, 3.2.3, 3.3.3* from [CDM, section 3].
    Problems 2.1, 2.2*, 3.4, 3.5*, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4ab, 5.1ab, 5.2, 5.3*, 6.1.ab, 6.2, 6.3*, Theorems/Results 3.4, 3.6, 3.8, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.7, 5.5, 6.3, 6.5, 6.8 from [PS] := Prasolov V.V., Sossinsky A.B. Knots, Links, Braids, and 3-manifolds. Amer. Math. Soc. Publ., Providence, R.I., 1996. В. В. Прасолов, А.Б.Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия, М., МЦНМО, 1997.

  • Последнее обновление/Last modification 27.08.2022.
    Contacts: s*open*o@mccme.ru, *:=k. Пожалуйста, направляйте пожелания и замечания Аркадию Борисовичу Скопенкову, s*open*o@mccme.ru, где *=k. Rambler's Top100