\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{circle_1}

\begin{document}

\head{Математический кружок МЦНМО}{5}{1 ноября 2003 г.}{Инварианты.}

{\itshape \hfill\parbox{7cm}{\small Нельзя ведь доказывать чувственным\\
восприятием или пальцем.\\ \hbox to 7cm{\hfill Аристотель.} }

}
\medskip

\prob \subprob Хулиган Ваня порвал стенгазету на 11 частей. Некоторые из
получившихся кусков он снова порвал на 11 частей, и так далее. Могло ли в
некоторый момент получиться ровно 2003 куска?

\subprob А если каждый кусок рвался на 4 или 10 частей?

\prob \subprob Волк и семеро козлят встали в один ряд и играют в чехарду:
каждую секунду двое из них, стоящие через одного, могут, прыгнув, поменяться
местами. Может ли оказаться так, что они стоят в обратном порядке?

\subprob А если в чехарду играют Али-баба и сорок разбойников?

\prob У числа $9^{99}=9\cdot9\cdot\ldots\cdot9$ ($99$~раз) 
вычислили сумму цифр. У полученного числа опять вычислили сумму цифр и т.д, 
пока не получилось однозначное число. Какое?

\prob На доске написаны числа от 1 до 20. Каждую секунду какие-то два числа $a$
и $b$ заменяют на число

\subprob $a+b$;

\subprob $ab$;

\subprob $a+b-1$;

\subprobstar $ab+a+b$

В конце концов остаётся одно число. Какое?

\prob Фигура \лк верблюд\пк\ ходит по доске $10\times 10$ ходом типа $(1,3)$
(то есть, она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем сдвигается еще на
три поля в перпендикулярном направлении; конь, например, ходит ходом типа
$(1,2)$). Можно ли пройти ходом \лк верблюда\пк\ с какого-то исходного поля на
соседнее с ним?

\prob В каждой клетке доски $3\times 3$ сидело по жуку. Через некоторое время
каждый жук переполз в соседнюю (по стороне) клетку. Докажите, что хотя бы в
одной клетке сидит больше одного жука.

\prob На шести ёлках сидят шесть чижей, на каждой ёлке~--- по чижу. Ёлки растут
в ряд с интервалами в 10~метров.  Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на
другую, то какой-то другой чиж обязательно перелетает на столько же метров
в обратном направлении. 

\subprob Могут ли все чижи собраться на одной ёлке? 

\subprob А если чижей и ёлок~--- семь?

\probstar Болельщик Вася нарисовал расположение игроков на футбольном поле к
началу первого и второго таймов. Оказалось, что некоторые игроки поменялись
местами и при этом расстояние между любыми двумя игроками не увеличилось. 
Докажите, что все эти расстояния не изменились.

\probstar По кругу расставлены числа 12, 7, 23, 45, 13, 5. За один ход можно
прибавить или отнять одно и то же число (не обязательно целое) от двух стоящих
рядом чисел. Можно ли за несколько ходов получить числа 7, 13, 4, 1, 5, 12?

\end{document}
