\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{circle_1}

\begin{document}

\head{Математический кружок МЦНМО}{4}{25 октября 2003 г.}{Делимость}

\textbf{Признаки делимости:}
\begin{itemize}
\item Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётная.
\item Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
\item Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, составленное его двумя последними цифрами, делится на 4.
\item Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 5 или 0.
\item Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
\item Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
\item Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на чётных местах и суммой его цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.
\end{itemize}

\prob Делится ли:

\subprob 123456789 на 9;

\subprob 12345678900987654321 на 11;

\subprob 777 на 37?

\prob На доске было написано четырёхзначное число, затем у него стёрли
последнюю цифру и осталось число 573. Какую цифру стёрли, если исходное
число:

\subprob делилось на 3 и на 7;

\subprob было простым (то есть не делилось ни на какое натуральное число,
кроме себя и единицы)?

\prob Верен ли следующий признак делимости на 11:  Число делится на 11
тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на чётных местах равна суммеего цифр, стоящих на нечётных местах?

\prob Верны ли следующие части \лк признака делимости на 27\пк:

\subprob если сумма цифр числа делится на 27, то число делится на 27;

\subprob если число делится на 27, то сумма его цифр делится на 27?

\prob За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон 3 ломтика
хлеба, если на сковороде умещаются только 2 ломтика, а на поджаривание ломтика
с одной стороны требуется 1 минута?

\prob Известно, что $3x+7y$ делится на 19. Доказать, что $44x+90y$ тоже
делится на 19.

\prob Сколько существует:

\subprob двузначных чисел, которые делятся на 5;

\subprob трёхзначных чисел, которые делятся на 7?

\prob У автобусных билетов в СССР были шестизначные номера. Номер считался
счастливым, если сумма первых трёх его цифр была равна сумме последних
трёх. А каких номеров больше~--- счастливых или делящихся на 11?

\prob У царя Дадона в одиночных камерах сидели 100 пленников. Поворот ручки
отпирает каждую камеру, следующий поворот запирает, еще один снова
отпирает и т.д. К празднику царь решил освободить часть пленников и
накануне послал слугу, который повернул ручку на двери каждой камеры.
Все двери оказались отперты. Но тут пришел второй посыльный и повернул
ручку каждой второй камеры. Двери камер $2, 4, 6,\ldots$ вновь оказались
заперты. Следующий посланец повернул ручки камер $3, 6, 9, 12,\ldots$ Еще
один~--- в каждой четвертой камере. То же повторяли следующие посланцы
вплоть до сотого, повернувшего ручку сотой камеры. Наконец наступил
праздник, и сидевшие в открытых камерах вышли на свободу. Сколько
пленников освободил Дадон?

\end{document}
